组合数学入门
对于有的计数类问题，因为方案数巨大，我们不能通过爆搜来搜索答案（你愿意也可以，神威•太湖之光跑$800$年，但是你发现你活不了那么长时间），那么就需要对这类计数问题作出优化。
我现在就引入这个名词：组合数学。
组合数学所研究的内容就是对这类问题的优化。
引入
首先引入组合数学的两个基础原理：加法原理和乘法原理。
1.加法原理：
来看这样一个例题：
如图，从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车；在一天中，火车有三班，汽车有两班，那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
题解：
从甲地到乙地有两种方式可以选：
$1.$乘火车：$3$种方法。
$2.$乘汽车：$2$种方法。
那么总的方案数即为$3\times$（火车）$+2\times$（汽车）$=5$（种）。
总结：
若完成一件事的方法有$n$类，其中第$i$类方法包括$a_i$种不同的方法，且这些方法互不重合，则完成这件事共有$a_1+a_2+…+a_n$种不同的方法。
2.乘法原理：
再来看一道例题：
如图，由$A$市去$B$市的道路有$3$条，由$B$市去$C$市的道路有$2$条。从$A$市经$B$市去$C$市，共有多少种不同的走法？
题解：
从$A$市经$B$市去$C$市可分为两步：
$1.$从$A$市去$B$市：$3$种方法。
$2.$从$B$市去$C$市：$2$种方法。
那么总的方案数即为$3\times$（$A\rightarrow B$）$\times 2$（$B\rightarrow C$）$=5$（种）。
总结：
若完成一件事需要$n$个步骤，其中第$i$个步骤有$a_i$种不同的完成方法，且这些步骤互不干扰，则完成这件事共有$a_1\times a_2\times …\times a_n$种不同的方法。
两个概念
介绍完两个原理之后，我再引入两个概念：排列数和组合数。
$1.$排列数：
从n个不同的元素中依次取出m个元素组成一列，产生的不同排列的数量为：
$A_n^m=n\times (n-1)\times …\times (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$
注：$A_n^m$也可记作$P_n^m$。
$2.$组合数：
从n个不同的元素中取出m个组成一个集合（不考虑顺序），产生不同集合数量为：
$C_n^m=\frac{n\times(n-1)\times …\times (n-m+1)}{m\times(m-1)\times …\times 2\times 1}=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$。
显然，排列数和组合数的区别在于，排列数不考虑每一个集合中的顺序，而组合数则考虑。
所以，公式也可以这样理解：$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n!}{m!\times (n-m)!}$（$\frac{1}{A_m^m}$可理解为这$m$个数按不同顺序所能组成的方案数）。
计数方法策略
介绍完两个概念，现在我来介绍$10$个计数方法策略：
$1.$特殊元素和特殊位置优先策略
例题：
由$0$，$1$，$2$，$3$，$4$，$5$可以组成多少个没有重复数字的五位奇数。
题解：
由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置。
首先考虑末位：$1$，$3$，$5$为奇数，我们要从中选出来一个方案数为$C_3^1$。
然后考虑首位：$0$不能作为首位，所以首位的方案数为$C_4^1$。
最后考虑中间三位：已经拿走了$2$个数，还有$4$个数，从这$4$个数中选出$3$个数，方案数为$A_4^3$。
根据乘法原理统计答案为：$C_3^1\times C_4^1\times A_4^3=288$。
练习题：
用$0$到$9$这$10$个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
题解：
共有$C_5^1\times A_9^2$种偶数，再减去首位为$0$的情况，为$C_4^1\times C_4^1$，注意$0$在首位，末尾就不能为$0$，所以为$C_4^1$。
根据乘法原理统计答案为：$C_5^1\times A_9^2 - C_4^1\times C_8^1=328$。
$2.$相邻元素捆绑策略
例题：
$7$人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。
题解：
我们可以先将甲乙，丙丁分别看成是一个人，这时候的方案数为$A_5^5$。
然后在考虑甲乙，丙丁内部的方案数，各为$A_2^2$。
根据乘法原理统计答案为：${(A_5^5\times A_2^2)}^2=480$。
练习题：
记者要为$5$名志愿者和他们帮助的$2$位老人拍照，要求排成一排，$2$位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量。
题解：
还是将这两个老人捆绑在一起。
先考虑五名志愿者所能组成的排列数为$A_5^5$。
考虑老人不排能在两端，那么我们可以看成将这$2$个老人所组成的整体插入这$5$名志愿者所组成的$4$个间隙，方案数为$C_4^1$。
然后再考虑这两个老人内部的方案数为$A_2^2$。
根据乘法原理统计答案为：$A_5^5\times C_4^1\times A_2^2=960$。
$3.$不相邻插空策略
例题：
一个晚会的节目有$4$个舞蹈，$2$个相声，$3$个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？
题解：
分两步计算：
首先，$2$个相声和$3$个独唱共有$A_5^5$种方案数。
然后我们可以将这$4$个舞蹈不能连续出场看成将它们插入$2$个相声和$3$个独唱所产生的$6$个间隙中，方案数为$A_6^4$。
根据乘法原理统计答案为：$A_5^5\times A_6^4=43200$。
提示：不相邻计数通常使用插空法。
$4.$定序问题倍缩空位插入策略（倍缩法）
例题：
$7$人排队，其中甲乙丙$3$人顺序一定，共有多少不同的排法。
解释一下题意，“甲乙丙$3$人顺序一定”表示甲在乙前，乙在丙前，不需要连续。
题解：
先不考虑这三个人的顺序则有$A_7^7$种排法。
然后考虑我们再除这三个人所能组成的$A_3^3$种排法。
根据乘法原理统计答案为：$\frac{A_7^7}{A_3^3}=A_7^4=840$。
$5.$排列问题求幂策略
例题：
把$6$名实习生分配到$7$个车间实习，共有多少种不同的分法。
题解：
这道题的特点为：每个实习生的分配对下一个实习生的分配没有任何影响，每个人都有$7$个车间可选，答案即为$7^6$。
$6.$环排问题线排策略
例题：
$8$人围桌而坐,共有多少种坐法?
题解：
这道题与坐成一排的区别在于坐成一圈没有首尾之分。
那么我们可以将这道题理解为：先固定一个人，然后让剩下的$7$个人随便坐即可。
答案为$A_7^7=5040$。
提示$1$：一般地，$n$个不同元素作圆形排列，共有$(n-1)!$种排法。
提示$2$：如果从$n$个不同元素中取出$m$个元素作圆形排列，共有$\frac{A_n^m}{m}$种排法。
$7.$多排问题直排策略
例题：
$8$人排成前后两排，每排$4$人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法。
题解：
我们现将这个问题转化为$8$个人做成一排，甲乙坐在前四个座位，丙坐在后四个座位。
前排有两个特殊元素，方案数为$A_4^2$。
后排有一个特殊位置，方案数为$A_4^1$。
剩下$5$个人坐在剩下$5$个座位，方案数位$A_5^5$。
根据乘法原理统计答案为：$A_4^2\times A_4^1\times A_5^5=5760$。
$8.$排列组合混合问题先选后排策略
例题：
有$5$个不同的小球,装入$4$个不同的盒内，每盒至少装一个球，求共有多少不同的装法。
题解：
依然是分两步处理：
$1.$从$5$个球中选出$2$个组成复合元共有$C_5^2$种方法。
$2.$把$4$个元素(包含一个复合元素)装入$4$个不同的盒内有$A_4^4$种方法。
根据乘法原理统计答案为：$C_5^2\times A_4^4=240$。
那么，有的同学可能会有这样的思路：
首先，从$5$个球中选取$4$个共有$A_5^4$种方法。
然后将最后一个球放进这四个盒中的其中一个，共有$C_4^1$。
然后根据乘法原理统计答案为：$A_5^4\times C_4^1=480$。
为什么答案会是$2$倍呢？
这么考虑一下，我们先将$1$，$2$，$3$，$4$这$4$个球依次放进$1$，$2$，$3$，$4$这四个盒子，然后再将$5$号球放进$1$号盒子；然后下次再将$5$，$2$，$3$，$4$这$4$个球依次放进$1$，$2$，$3$，$4$这四个盒子，然后将$1$号球放进$1$号盒子，这两种情况是一样的，但是我们重复统计了，所以再将答案除$2$即为得数。
$9.$平均分组问题除法策略
例题：
$6$本不同的书平均分成$3$堆，每堆$2$本共有多少分法。
题解：
分三步拿书：
先从$6$本书中拿出$2$本，共有$C_6^2$种方法。
然后从剩下$4$本书中拿出$2$本，共有$C_4^2$种方法。
最后拿走剩下两本，共有$C_2^2$种方法。
然而每种方案又被计算了$A_3^3$次，所以要除掉。
根据乘法原理统计答案为：$\frac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15$。
$10.$重排列
例题：
由四面红旗，三面蓝旗，二面黄旗，五面绿旗排成的一排彩旗有多少种？
题解：
首先，不去考虑旗子的颜色，单纯去考虑$14$面彩旗所能组成的方案数共有$A_{14}^{14}$种。
然后依次考虑四面红旗会被重复统计$A_4^4$次，三面蓝旗会被重复统计$A_3^3$次，二面黄旗会被重复统计$A_2^2$次，五面绿旗会被重复统计$A_5^5$次。
根据乘法原理统计答案为：$\frac{A_{14}^{14}}{A_4^4\times A_3^3\times A_2^2\times A_5^5}=2522520$。
常用结论
现在介绍完了这$10$种技术方法策略，我们在来介绍两个比较常用的结论：
$1.$将一个长度为$n$的序列划分成$m$段非空子串的方案数为$C_{n-1}^{m-1}$。
相当于在$n-1$个空位中选择$m-1$个插入隔板的方案数 。
$2.$将一个长度为$n$个序列划分成$m$段可空子串的方案数为$C_{m+n-1}^{m-1}$。
相当于在$m+n-1$个位置中选择$m-1$个作为隔板的方案。
那么，现在我的讲解就结束了，希望各位大佬可以理解。
注：上面的计算过程为本人纯手动完成，如有错误请谅解，并在评论区回复。
rp++
