生成字符串

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SCOI2010] 生成字符串 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

一个生成字符串的任务，任务需要把 n个 1 和 m个 0 组成字符串，在组成的字符串中，在任意的前 k个字符中，1的个数不能少于 0 的个数。满足要求的字符串共有多少个.

一个经典问题：

一只绿鸟50元，一堆人买绿鸟，有人有100元，有人有50元。绿鸟商刚开始没有钱，问有几种排队方法，使得绿鸟商总可以随时找零。

此题中的0就是100元，1就是50元，生成的字符串就是排队方案。

分析：

必须是：n>=m

选择字符1表示：向右上走（x坐标+1，y坐标+1）

选择字符0表示：向右下走（x坐标+1，y坐标-1）

这样子如果不考虑限制条件，

就表示从（0，0）走n+m步到达(n+m,n-m),这相当于从n+m步中选择m步向下走也就是C(n+m,m).

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考虑限制条件，任意前缀1的个数>=0的个数，也就是路线不能经过y=-1这条线。

利用等效替代法：

我们把不合法的情况在经过 y=-1 这条线之前的线以 y=-1 为对称轴向下翻折。

起点就变成了 (0,-2)，终点仍然是 (n+m,n-m)。翻转时1的个数+1，0的个数-1，

古方案数C(n+m,m-1)。

ans=C(n+m,m)-C(n+m,m-1).

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另一种情况

一个生成字符串的任务，任务需要把 n个 1 和 m个 0 组成字符串，在组成的字符串中，在任意的前 k个字符中，1的个数大于 0 的个数。满足要求的字符串共有多少个.

SP19148 INS14G - Kill them All - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

分析：

第一个字符必须为1，

从第二个字符开始算，在任意前k个字符中，1的个数>=0的个数，

即转化成n-1个1和m个0的情况数。