二分图

二分图的最大匹配

摘自二分图的最大匹配 - 爱国呐 - 博客园 (cnblogs.com)

一，概念

如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。

匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。

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在图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。

最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。

完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。

二，算法

求解最大匹配问题的一个算法是匈牙利算法。

交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。

增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：

增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是改进匹配。

只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。

我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。

给一个例子
1、起始没有匹配

2、选中第一个x点找第一跟连线

3、选中第二个点找第二跟连线

4、发现x3的第一条边x3y1已经被人占了，找出x3出发的的交错路径x3-y1-x1-y4，把交错路中已在匹配上的边x1y1从匹配中去掉，剩余的边x3y1 x1y4加到匹配中去

5、同理加入x4,x5。

匈牙利算法可以深度有限或者广度优先，刚才的示例是深度优先，即x3找y1,y1已经有匹配，则找交错路。若是广度优先，应为：x3找y1,y1有匹配，x3找y2。

匈牙利算法的要点如下

1. 从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
2. 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
3. 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
4. 由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。

三，代码

P3386 【模板】二分图最大匹配 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
https://www.luogu.com.cn/problem/P1640

四，判断是否是二分图

这里将选用正常的染色法来讲解，

判断二分图的常见方法是染色法：用两种颜色，对所有顶点逐个染色，且相邻顶点染不同的颜色，如果发现相邻顶点染了同一种颜色，就认为此图不为二分图。 当所有顶点都被染色，且没有发现同色的相邻顶点，就退出。

补充定义和定理：

(1)二分图的最小顶点覆盖

最小顶点覆盖要求用最少的点（X或Y中都行），让每条边都至少和其中一个点关联。

Knoig定理：二分图的最小顶点覆盖数等于二分图的最大匹配数。

(2)DAG图的最小路径覆盖

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图(DAG)G的所有顶点，这就是DAG图的最小路径覆盖问题。

结论：DAG图的最小路径覆盖数 = 节点数（n）- 最大匹配数（m）

(3)二分图的最大独立集

最大独立集问题： 在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边．求m最大值

结论：二分图的最大独立集数 = 节点数（n）— 最大匹配数（m）