欧拉函数

欧拉函数

欧拉函数知识点总结及欧拉函数打表代码（数论） - 王陸 - 博客园 (cnblogs.com)

一。概念

在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。

例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

欧拉函数用希腊字母φ表示,φ(N)表示N的欧拉函数.

φ(N)={1，2，3，....n-1}中和N互质的数的个数。

对于互质的理解：

互质数为数学中的一种概念，即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。

互质数具有以下定理：

（1）两个数的公因数只有1的两个非零自然数,叫做互质数；

（2）多个数的若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数；

（3）两个不同的质数，为互质数；

（4）1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质；

（5）任何相邻的两个数互质；（必为一奇一偶）

（6）任取出两个正整数他们互质的概率（最大公约数为一）为6/π^2。

二，公式

其中，p1,p2,pn为n的所有不重复的质因数。

质因数：是n的因子，且是质数

例如：

计算φ(N)：

情况一：

n=0时，φ(0)=0

n=1时, φ(1)=1;

情况二：

当n****为素数时，φ(n)=n-1

例如，n=7, φ(7)=7×(1-1/7)=6;

情况三：

如果p为素数，n时p的正整数次方，即n=p^k

那么φ(N)= φ(p^k)=pk(1-1/p);

因为p^k的素因子只有p

三，性质

(1) p^k型欧拉函数:

若n是质数， φ(n)=n-1

若n是质数p的k次幂(n=p^k), φ(n)=(p-1)p^(k-1)

(2)mn型欧拉函数:

若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

(3)特殊性质：

若n为奇数时，φ(2n)=φ(n)。

四，欧拉定理：

对于任何两个互质的正整数a,n(n>2)有:a^φ(n)=1(mod n) (恒等于)

欧拉定理的推论：

若正整数a,n互质，则对于任何正整数b，有

$$a^b≡a^(b mod⁡φ(n) ) (mod n)$$