最短路径

最短路径

单源最短路径：

n个点到一个点的最短距离：建立反向图，

方法一，

​ Dijkstra算法：利用贪心思想，（不等处理负权的情况）

​ [dijkstra普通算法](记录详情 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

​ [dijkstra堆优化算法](记录详情 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

方法二：

​ Bellman-Ford算法：(不能处理负权回路)

原理：

每个点到起始点的最短距离都要经过(0 --- n-1)点,

通过第一次松弛操作，得到所有 到起始点经过0个点 的点的最短距离，

第二次松弛操作，得到所有 到起始点经过1个点 的点的最短距离

......

最后第n-1次松弛操作，得到所有 到起始点经过n-1个点 的点的最短距离

------------

进行第n次松弛操作，如果dis[i]发生改变，则表明第i个点到起始点要经过n个点，明显不成立，说明存在负环。

[bellman_ford算法模板](记录详情 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

方法三：

SPFA算法，(Bellman-Ford的优化)

可能被一些数据针对，故意卡时间，导致Tle

使用队列优化

Bellman-Ford算法每次都遍历所有的边，而SPFA只遍历需要修改的边。

当一个点i的dis[i]被修改时，与i点相连的点才会被修改，其余点不做修改。

把与i相连的点放入队列，

持续做这种操作直到队列为空

[spfa算法模板](记录详情 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))

SPFA判断负环：

起始点到点i的距离，最多经过n-1条边

cut[n];//表示起始点到i点经过了几条边

进行松弛操作时，更新cut[i];

当cut[i]>=n时，存在负环。

多元最短路径：

Floyd算法：

O(n^3)

map[100][100];//表示i到j的距离
//k为中间节点
for (k = 1; k <= n; k++){//Floyd-Warshall算法核心语句
    for (i = 1; i <= n; i++){
        for (j = 1; j <= n; j++){
            if (map[i][j] > map[i][k] + map[k][j])
   	       {
                map[i][j] = map[i][k] + map[k][j];
            }
        }
    }
}

奇怪的异或和最短路：

[题目](P5651 基础最短路练习题 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn))