逆元

逆元

逆元：

若a*x≡1(mod b) ,<a,b互质>，则称x为a的逆元,

应用：

当过程中需要计算a/b且对a/b取模时，有时b过大会超出范围，所以需要变除法为乘法。

一，费马小定理

局限性：p必须为质数

若p为质数，a为正整数，则a^(p-1)=1 (mod p);

即a^(p-1)=a*a(p-2)=1 (mod p);

则a的逆元x=a^(p-2);

//a^(p-2)用快速幂得到
long long getinv(long long a, long long p)
{
	return QuickPow(a, p-2);
}
long long QuickPow(long long x, long long p)
{
	if (p == 0)
		return 1;
	else if (p % 2 == 0)
	{
		long long temp = QuickPow(x, p / 2);
		return (temp * temp) % mod;
	}
	else
	{
		return (QuickPow(x, p - 1) * x) % mod;
	}
}

二，扩展欧几里得

扩展欧几里得算法：求ax+by=gcd（a，b）的一组x，y

求a在模p意义下的乘法逆元：

a*x=1 (mod p)

等价于a*x=1+kp

等价于 a*x+pk=1=gcd(a,b) ---a和p是互质的

long long get_inv(long long a, long long p)
{
	long long x = 1, y = 0;
	exgcd(a, p, x, y);
	return (x % p + p) % p;//防止出现负数
}
long long exgcd(long long a, long long b, long long& x, long long& y)
{
	if (b == 0) {
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	long long q = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return q;
}

三，求解前n个数的逆元

要求解1-N中，所有数的逆元，（保证模数p为质数）

int inv[100000], p;
inv[1] = 1;
for (int i = 2; i < 100000; i++)
{
	inv[i] = ((p - p / i) * inv[p % i]) % p;
}