Processing math: 100%

最小割树学习笔记

定义:定义一棵树 T 为最小割树,如果对于树上的所有边 (u,v),树上去掉 (u,v) 后产生的两个集合恰好是原图上 (u,v) 的最小割把原图分成的两个集合,且边 (u,v) 的权值等于原图上 (u,v) 的最小割

最小割树性质:图中 (s,t) 的最小割等于最小割树上 st 的路径上最小的边权

按照定义构造即可 O(n3m)

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
#include<cstdio>
 
#define maxn 555
#define maxm 2222
#define INF 1000000000
 
inline int read(){
    int r=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')r=(r<<1)+(r<<3)+(c^48),c=getchar();
    return r*f;
}
 
inline int min(int a,int b){
    return a<b?a:b;
}
 
inline void swap(int &a,int &b){
    int c=a;
    a=b;
    b=c;
}
 
int n,m,q;
 
struct Flow{
 
    struct E{
        int v,c,nxt;
        E() {}
        E(int v,int c,int nxt):v(v),c(c),nxt(nxt) {}
    }e[maxm*4];
 
    int s,t,hd,tl,s_e,head[maxn],cur[maxn],lev[maxn],q[maxn];
 
    inline void a_e(int u,int v,int c){
        e[++s_e]=E(v,c,head[u]);
        head[u]=s_e;
    }
 
    inline void add(int u,int v,int c){
        a_e(u,v,c);
        a_e(v,u,0);
    }
 
    inline void init(int S,int T){
        s_e=1;
        s=S,t=T;
        for(int i=1;i<=n;i++)head[i]=0;
    }
 
    inline bool BFS(){
        hd=tl=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            lev[i]=0,cur[i]=head[i];
        lev[s]=1;
        q[++tl]=s;
        while(hd^tl){
            int u=q[++hd];
            for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
                int v=e[i].v,c=e[i].c;
                if(!c||lev[v])continue;
                lev[v]=lev[u]+1;
                q[++tl]=v;
                if(v==t)return true;
            }
        }
        return false;
    }
 
    int dfs(int u,int f){
        int d=0,used=0;
        if(!(u^t))return f;
        for(int &i=cur[u];i;i=e[i].nxt){
            int v=e[i].v;
            if(!e[i].c||(lev[v]^(lev[u]+1)))continue;
            d=dfs(v,min(f-used,e[i].c));
            if(!d)continue;
            used+=d;
            e[i].c-=d;
            e[i^1].c+=d;
            if(used==f)break;
        }
        if(!used)lev[u]=0;
        return used;
    }
 
    inline int dinic(){
        int max_flow=0,d=0;
        while(BFS())
            while((d=dfs(s,INF)))
                max_flow+=d;
        return max_flow;
    }
 
}flow;
 
struct Tree{
 
    struct E{
        int v,w,nxt;
        E() {}
        E(int v,int w,int nxt):v(v),w(w),nxt(nxt) {}
    }e[maxm*2];
 
    int s_e,head[maxn],dot[maxn],be[maxn],uu[maxm],vv[maxm],cc[maxm];
 
    bool vis[maxn];
 
    inline void a_e(int u,int v,int w){
        e[++s_e]=E(v,w,head[u]);
        head[u]=s_e;
    }
 
    inline void init(){
        s_e=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            dot[i]=be[i]=i,head[i]=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            uu[i]=read(),vv[i]=read(),cc[i]=read();
    }
 
    inline void add(){
        for(int i=1;i<=m;i++){
            flow.add(uu[i],vv[i],cc[i]);
            flow.add(vv[i],uu[i],cc[i]);
        }
    }
 
    inline int val(int s,int t){
        flow.init(s,t),add();//每次都要重置
        return flow.dinic();
    }
 
    inline void find(int l,int r){
        for(int i=1;i<=flow.tl;i++){
            int u=flow.q[i];
            if(be[u]>=l&&be[u]<=r)vis[u]=1;
        }
    }
 
    void build(int l,int r){
        if(l>=r)return;
        int ans=val(dot[l],dot[r]);
        a_e(dot[l],dot[r],ans);
        a_e(dot[r],dot[l],ans);
        find(l,r);
        int i=l,j=r,mid=l-1;
        while(i<j){
            while(vis[dot[i]])i++;//dinic里最后一次BFS因为没有增广路了,所以遍历到的就是割完了以后的集合
            while(!vis[dot[j]])j--;
            if(i>j)break;
            swap(be[dot[i]],be[dot[j]]);
            swap(dot[i],dot[j]);
            i++,j--;
        }
        for(int i=l;i<=r;i++)
            mid+=vis[dot[i]],vis[dot[i]]=0;
        build(l,mid);
        build(mid+1,r);
    }
 
}tree;
 
struct LCA{
     
    int er[22],lg[maxn],dep[maxn],anc[22][maxn],dp[22][maxn];
 
    void dfs(int u,int fa){
        anc[0][u]=fa;
        dep[u]=dep[fa]+1;
        for(int i=tree.head[u];i;i=tree.e[i].nxt){
            int v=tree.e[i].v,w=tree.e[i].w;
            if(v==fa)continue;
            dp[0][v]=w;
            dfs(v,u);
        }
    }
 
    inline void init(){
        dfs(1,1);
        er[0]=1,lg[0]=-1,dp[0][1]=INF;
        for(int i=1;i<=n;i++)lg[i]=lg[(i>>1)]+1;
        for(int i=1;i<=lg[n];i++)er[i]=er[(i-1)]<<1;
        for(int i=1;i<=lg[n];i++)
            for(int j=1;j<=n;j++){
                anc[i][j]=anc[i-1][anc[i-1][j]];
                dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][anc[i-1][j]]);
            }
    }
 
    inline int ans(int u,int v){
        int Min=INF;
        if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
        int c=dep[v]-dep[u];
        while(c){
            Min=min(Min,dp[lg[c]][v]);
            v=anc[lg[c]][v];
            c-=er[lg[c]];
        }
        if(u==v)return Min;
        for(int i=lg[dep[u]];i>=0;i--){
            if(anc[i][u]==anc[i][v])continue;
            Min=min(Min,min(dp[i][u],dp[i][v]));
            u=anc[i][u],v=anc[i][v];
        }
        return min(Min,min(dp[0][u],dp[0][v]));
    }
 
}lca;
 
int main(){
    n=read(),m=read();
    tree.init();
    tree.build(1,n);
    q=read();
    lca.init();
    for(int i=1;i<=q;i++){
        int x=read(),y=read();
        printf("%d\n",lca.ans(x,y));
    }
    return 0;
}

  

posted @   一叶知秋‘  阅读(155)  评论(0编辑  收藏  举报
努力加载评论中...
点击右上角即可分享
微信分享提示