后缀数组学习笔记

定义#

后缀#

从字符串某个位置i到字符串末尾的子串,定义s的第i个字符为第一个元素的后缀为suf(i)。

后缀数组#

把s的每一个后缀按照字典序排序,后缀数组sa[i]表示排名为i的后缀的起始位置的下标。rk[i]数组代表起始位置为i的后缀的排名。

rk[]和sa[] 是一一对应关系,互为逆运算,可以相互推导

倍增#

倍增法求后缀数组是从字符串的第一个字符开始比较,然后每次倍增比较长度,直到完成。每次都递增两倍,所以总步骤一共只有 log2n 次,非常高效。

优化#

如果字符串很长,包含10000个字符,那么在最后一步,每个数字都有10000位,无法存储与排序。

方法是在每步操作后就对组合数字进行排序,用序号产生一个新数字,再用新数字进行下一步排序。

基数排序即可。

sa2

height数组#

大概是SA里最核心,最有用的部分。

height[i] 表示 suf(sa[i])suf[sa[i1]] 的最长公共前缀(LCP)。

性质:height[i]height[rk[i1]]1

lcp求解:lcp(i,j)=mink=rk[i]+1rk[j]height[k]

代码#

const int N = 1e6 + 7;
int sa[N], rk[N], c[N], x[N], y[N], height[N];

char s[N];
int n, m;

void get_sa() {
    for(int i = 1; i <= n; i ++) c[x[i] = s[i]] ++;
    for(int i = 2; i <= m; i ++) c[i] += c[i - 1];
    for(int i = n; i; i --) sa[c[x[i]] --] = i;
    for(int k = 1; k <= n; k *= 2) {
        int num = 0;
        for(int i = n - k + 1; i <= n; i ++) y[++ num] = i;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) {
            if(sa[i] > k) y[++ num] = sa[i] - k;
        }
        for(int i = 1; i <= m; i ++) c[i] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) c[x[i]] ++;
        for(int i = 2; i <= m; i ++) c[i] += c[i - 1];
        for(int i = n; i; i --) sa[c[x[y[i]]] --] = y[i], y[i] = 0;
        swap(x, y);
        num = 1, x[sa[1]] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i ++) {
            x[sa[i]] = (y[sa[i]] == y[sa[i - 1]] && y[sa[i] + k] == y[sa[i - 1] + k]) ? num : ++ num;
        }
        if(num == n) break;
        m = num;
    }
}
void get_height() {
    for(int i = 1; i <= n; i ++) rk[sa[i]] = i;
    int k = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ ){
        if(rk[i] == 1) continue;
        if(k) k --;
        int j = sa[rk[i] - 1];
        while(i + k <= n && j + k <= n && s[i + k] == s[j + k]) k ++;
        height[rk[i]] = k;
    }
}

题目

主要是进行一些做题的记录,所以思路写的比较草,不是很详细。

P4051 [JSOI2007] 字符加密#

把原串拼一个在后面,求出sa数组后,如果这个位置在原串里,那输出对应结尾的字符。

UVA1223 Editor#

给定文本字符串 s,查找文本字符串 s 中最长的子字符串,使得子字符串至少出现两次。

对于出现两次的子串,一定是后缀排序后相邻的两个的公共前缀,答案即为对 height 数组取最大值。

P2408 不同子串个数#

不同字串的个数就是所有的字串减去相同的字串个数。总的字串个数为 n(n+1)2 。所有后缀产生的相同的前缀个数为 1nheight[rk[i]],相同的字串个数为 1nheight[rk[i]]。答案为 n(n+1)21nheight[rk[i]]

CF802I Fake News (hard)#

x 为该子串在这之前出现的次数。

Ans=i=1npre(sai)2×x+1=i=1npre(sai)+2×i=1npre(sai)x=n(n+1)2+i=1npre(sai)x

然后单调栈即可。

P3181 [HAOI2016] 找相同字符#

把两个字符串中间加一个特殊字符合并在一起,求一遍sa和height数组。答案就是 sa[i]<n+1<sa[j]minikjheight[k]+sa[j]<n+1<sa[i]minikjheight[k]

P2178 [NOI2015] 品酒大会#

好题,学到了。

求有多少对后缀的lcp 大于等于r。发现当限制条件为r的时候height数组一定会被一个小于r的分成若干个块。随着r的变小,块会向外扩,可以理解为并查集操作。

P1117 [NOI2016] 优秀的拆分#

ai 为从1到 i ,有多少个形如AA。bi 为从 i 到1,有多少个形如BB。Ans=i=1n1a[i]b[i+1]

O(n2)​ 有95 赚麻了/

很厉害题。

挂个题解链https://www.cnblogs.com/acfunction/p/10087144.html

P3975 [TJOI2015] 弦论#

给定字符串,求字符串的第 k 小字串。同时每次给 t ,若 t=0 表示不同位置相同子串算一个,否则算作多个。

作者:wyyqwq

出处:https://www.cnblogs.com/wyyqwq/p/18140003

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