运输计划
题目就是询问将树上哪一条边的权重设为0之后，给定的m条路径的长度的最大值的最小。
我们先考虑序列上怎样做，再扩展到树上。我们先将边权转化为点权，对于最大值最小的问题，考虑二分答案。问题就转化为：是否存在一个数，权值为0之后，所有给定路径的长度和都小于等于mid（其实也就是最大值 \(\leq\) mid）。对于一条路径，如果它的长度 > mid，那么一定要删除这条路径上的一条边，我们应该将这样的边设为0，即所有长度大于mid的路径的交集。差分就可以帮我们找出这样的边，可以用差分进行区间加的标记，看一看一条边的覆盖次数即可。
45分代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N = 3e5 + 100;
typedef pair<int, int> PII;
struct Edge {
int v, w, nxt;
} e[ N << 1];
int n, m, cnt, head[N], seq[N], dis[N];
int sum[N], b[N];
PII p[N];
void AddEdge(int u, int v, int w) {
e[++cnt].v = v;
e[cnt].w = w;
e[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
}
bool check(int mid) {
int nums = 0, maxw = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++) b[i] = 0;
for(int i = 1; i <= m; i++) {
int u = p[i].x, v = p[i].y;
if( u > v) swap(u, v);
int d = sum[v - 1] - sum[u - 1];
if(d > mid) {
b[u] += 1, b[v] -= 1;
nums ++;
maxw = max(d, maxw);
}
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
b[i] = b[i] + b[i - 1];
for(int i = 1; i < n; i ++) {
if( b[i] == nums) {
if( maxw - seq[i] <= mid)
return true;
}
}
return false;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i < n; i ++) {
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
AddEdge(u, v, w), AddEdge(v, u, w);
seq[i] = w;
}
for(int i = 1; i <= m; i ++) {
scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
}
for(int i = 1; i <= n; i ++)
sum[i] = sum[i - 1] + seq[i];
int l = 0, r = 1e9;
while(l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if( check(mid))
r = mid;
else l = mid + 1;
}
printf("%d\n", l);
return 0;
}
对于树上的问题，我们只需要将前缀和转化为树上前缀和，差分转化为树上差分即可。
/*
统计将一条边的边权设为 0 之后的最大路径长度
max( dist(u, v))
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N = 3e5 + 100;
typedef pair<int, int> PII;
struct Edge {
int v, w, nxt;
} e[ N << 1];
int n, m, cnt, head[N], dis[N], LCA[N], nums, maxw;
int dep[N], anc[N][22];
int sum[N], b[N];
PII p[N];
bool flag = false;
void dfs_lca(int u, int ff) {
anc[u][0] = ff;
dep[u] = dep[ff] + 1;
for(int i = 1; i <= 20; i ++)
anc[u][i] = anc[anc[u][i - 1]][i - 1];
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].v;
if( ff == v) continue;
dfs_lca(v, u);
}
}
int lca(int u, int v) {
if( dep[u] < dep[v]) swap(u, v);
for(int i = 20; i >= 0; -- i) {
if( dep[anc[u][i]] >= dep[v])
u = anc[u][i];
}
if( u == v) return u;
for(int i = 20; i >= 0; -- i) {
if( anc[u][i] != anc[v][i])
u = anc[u][i], v = anc[v][i];
}
return anc[u][0];
}
void AddEdge(int u, int v, int w) {
e[++cnt].v = v;
e[cnt].w = w;
e[cnt].nxt = head[u];
head[u] = cnt;
}
void dfs_df(int u, int fa) {
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].v;
if( v == fa) continue;
dfs_df(v, u);
b[u] += b[v];
}
}
void dfs_ans(int u, int ff, int mid) {
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].v;
if( v == ff) continue;
if(b[v] == nums)
if( maxw - e[i].w <= mid)
flag = true;
dfs_ans(v, u, mid);
}
}
bool check(int mid) {
nums = 0, maxw = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++) b[i] = 0;
for(int i = 1; i <= m; i++) {
int u = p[i].x, v = p[i].y;
if(dis[i] > mid) {
b[u] += 1, b[v] += 1;
b[LCA[i]] -= 2;
nums ++;
maxw = max(dis[i], maxw);
}
}
dfs_df(1, 0);
//进行一遍dfs，通过每条边的覆盖次数来统计答案
flag = false;
dfs_ans(1, 0, mid);
return flag;
}
void dfs_sum(int u, int fa) {
for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].v;
if( v == fa) continue;
sum[v] = sum[u] + e[i].w;//错误1,回溯之前算
dfs_sum(v, u);
}
}
void pre_dis() {
for(int i = 1; i <= m; i ++) {
int u = p[i].x, v = p[i].y;
LCA[i] = lca(u, v);
dis[i] = sum[u] + sum[v] - 2 * sum[LCA[i]];
}
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i < n; i ++) {
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
AddEdge(u, v, w), AddEdge(v, u, w);
}
for(int i = 1; i <= m; i ++) {
scanf("%d%d", &p[i].x, &p[i].y);
}
dfs_lca(1, 0);//错误2：没有预处理
dfs_sum(1, 0);//树上前缀和
pre_dis();//树上两点间距离
int l = 0, r = 2e9;
while(l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if( check(mid))
r = mid;
else l = mid + 1;
}
printf("%d\n", l);
return 0;
}
