复变函数复习笔记1.1复数

复变函数复习笔记

第一章 复数

复数的来源:

\[i^2=-1,i=\sqrt{-1} \]

定义：称有序实数对\((x,y)\)所确定的数\(z=x+iy\)为复数，其中\(x\)称为\(z\)的实部，记作\(x=Rez\)，\(y\)称为\(z\)的虚部，记作\(y=Imz\)。

复数相等即意味着两个复数的实部和虚部分别相等。复数的加减法也与实数类似，只是两个复数的和的实部等于两个复数的实部的和，两个复数的和的虚部等于两个复数的虚部的和而已，这里不再进行赘述。一个复数的共轭是指其实部不变，虚部取相反数的复数，例如\(z=x+iy\)与\(\bar{z}=x-iy\)互为共轭复数，由于复数的四则运算与实数的四则运算类似，我们可以轻松得到以下结论：

\[z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2=x^2+y^2 \]

我们把\(\sqrt{x^2+y^2}\)定义为\(\vert{z}\vert\)，称为\(z\)的模，显然我们可以得到\(z\bar{z}=\vert{z}\vert^2\)
令\(z_1=x_1+iy_1\)，\(z_2=x_2+iy_2\)，有\(z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)\)可以看到在这里复数的运算是和实数的运算相类似的。

关于复数的除法，其本身只是乘法的逆运算而已，我们可以这样来看，当\(z_2\neq0\)时\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{\vert{z_2}\vert^2}\)，我们把这一步操作叫做分母实数化，可以看到，此时分母已经变为了\(\vert{z_2}\vert^2\)，是一个完完全全的实数了。

三角不等式关系：\(\vert{Rez}\vert\leqslant\vert{z}\vert\)，\(\vert{Imz}\vert\leqslant\vert{z}\vert\)，\(\vert{z}\vert\leqslant\vert{Rez}\vert+\vert{Imz}\vert\)

对于复数的共轭，我们还可以有许多其他结论，比如对于\(z=x+iy\)，\(z+\bar{z}=2x=2Rez\)，\(z-\bar{z}=2iy=2iImz\)，于是我们可以将实数表示为复数如下：

\[x=Rez=\frac{z+\bar{z}}{2}，y=Imz=\frac{z-\bar{z}}{2i} \]

这对于以后我们用复数表示实数是十分重要的！！
其他的一些性质：$$\overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}，\overline{z_1-z_2}=\bar{z_1}-\bar{z_2}$$

\[\overline{z_1z_2}=\bar{z_1}\bar{z_2}，\overline{z^n}=\bar{z}^n \]

复数的几何表示：\(z=x+iy\)可用平面上直角坐标\((x,y)\)与之对应，如图所示，\(x\)轴代表实轴，\(y\)轴代表虚轴，在这个平面上我们可以用向量来表示复数
由图片我们可以知道\(\vec{\vert{op}\vert}=\sqrt{x^2+y^2}=\vert{z}\vert\)，向量\(\vec{op}\)的长度称为\(z\)的模，我们把它记为\(r\)，也即\(r=\vec{\vert{op}\vert}=\sqrt{x^2+y^2}=\vert{z}\vert\)。类似于极坐标系的表示方法，我们还需要一个角度与\(r\)相关联才能唯一确定一个复数，于是我们引入复辐角的概念，如图所示：
我们定义\(\varphi\)是\(z=x+iy\)的辐角，记作\(\varphi=Argz\)，可以得到\(\tan\varphi=\frac{y}{x}\)。值得注意的是，我们约定\(argz\)为辐角主值，\(Argz=argz+2k\pi\)，其中\((k=0,\pm1,\pm2......)\)，同时也可以发现当\(z=0\)时辐角是无意义的。我们一般取辐角主值\(argz\)的区间为\(-\pi<argz\leqslant\pi\)，由于\(-\frac{\pi}{2}<\arctan\frac{y}{x}<\frac{\pi}{2}\)，故而\(argz\)的取值也随复数所在的位置而定。

下面是复数在不同位置时，\(argz\)的取值：

\[argz=\left \{\begin{matrix} \arctan\frac{y}{x} ,x>0(第一、四象限)\\ \pi+\arctan\frac{y}{x},x<0,y>0(第二象限)\\ -\pi+\arctan\frac{y}{x},x<0,y<0(第三象限)\\ \frac{\pi}{2},x=0,y>0(上半虚轴)\\ \pi,x<0,y=0(负实轴)\\ -\frac{\pi}{2},x=0,y<0(下半虚轴)\\ \end{matrix} \right. \]

故而复数也可以写成\(z=x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),r>0\)，我们将后面的表达形式称为三角式，同时我们也可以用指数形式来表示复数，写为\(e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi\)，这便是著名的欧拉公式，我们有许多方法可以证明欧拉公式，在此不多赘述，现在我们便有三种形式可以表述复数了，在具体问题中，一般是哪个方便就用哪个形式

\[z=x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi} \]