复变函数复习笔记1.1复数

复变函数复习笔记

第一章 复数

复数的来源:

$$i^2=-1,i=\sqrt{-1}$$

定义：称有序实数对$(x,y)$所确定的数$z=x+iy$为复数，其中$x$称为$z$的实部，记作$x=Rez$，$y$称为$z$的虚部，记作$y=Imz$。

复数相等即意味着两个复数的实部和虚部分别相等。复数的加减法也与实数类似，只是两个复数的和的实部等于两个复数的实部的和，两个复数的和的虚部等于两个复数的虚部的和而已，这里不再进行赘述。一个复数的共轭是指其实部不变，虚部取相反数的复数，例如$z=x+iy$与$\bar{z}=x-iy$互为共轭复数，由于复数的四则运算与实数的四则运算类似，我们可以轻松得到以下结论：

$$z\bar{z}=(x+iy)(x-iy)=x^2-i^2y^2=x^2+y^2$$

我们把$\sqrt{x^2+y^2}$定义为$\vert{z}\vert$，称为$z$的模，显然我们可以得到$z\bar{z}=\vert{z}\vert^2$
令$z_1=x_1+iy_1$，$z_2=x_2+iy_2$，有$z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2)+i(x_1y_2+y_1x_2)$可以看到在这里复数的运算是和实数的运算相类似的。

关于复数的除法，其本身只是乘法的逆运算而已，我们可以这样来看，当$z_2\neq0$时$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\bar{z_2}}{z_2\bar{z_2}}=\frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{\vert{z_2}\vert^2}$，我们把这一步操作叫做分母实数化，可以看到，此时分母已经变为了$\vert{z_2}\vert^2$，是一个完完全全的实数了。

三角不等式关系：$\vert{Rez}\vert\leqslant\vert{z}\vert$，$\vert{Imz}\vert\leqslant\vert{z}\vert$，$\vert{z}\vert\leqslant\vert{Rez}\vert+\vert{Imz}\vert$

对于复数的共轭，我们还可以有许多其他结论，比如对于$z=x+iy$，$z+\bar{z}=2x=2Rez$，$z-\bar{z}=2iy=2iImz$，于是我们可以将实数表示为复数如下：

$$x=Rez=\frac{z+\bar{z}}{2}，y=Imz=\frac{z-\bar{z}}{2i}$$

这对于以后我们用复数表示实数是十分重要的！！
其他的一些性质： $$\overline{z_1+z_2}=\bar{z_1}+\bar{z_2}，\overline{z_1-z_2}=\bar{z_1}-\bar{z_2}$$

$$\overline{z_1z_2}=\bar{z_1}\bar{z_2}，\overline{z^n}=\bar{z}^n$$

复数的几何表示：$z=x+iy$可用平面上直角坐标$(x,y)$与之对应，如图所示，$x$轴代表实轴，$y$轴代表虚轴，在这个平面上我们可以用向量来表示复数
由图片我们可以知道$\vec{\vert{op}\vert}=\sqrt{x^2+y^2}=\vert{z}\vert$，向量$\vec{op}$的长度称为$z$的模，我们把它记为$r$，也即$r=\vec{\vert{op}\vert}=\sqrt{x^2+y^2}=\vert{z}\vert$。类似于极坐标系的表示方法，我们还需要一个角度与$r$相关联才能唯一确定一个复数，于是我们引入复辐角的概念，如图所示：
我们定义$\varphi$是$z=x+iy$的辐角，记作$\varphi=Argz$，可以得到$\tan\varphi=\frac{y}{x}$。值得注意的是，我们约定$argz$为辐角主值，$Argz=argz+2k\pi$，其中$(k=0,\pm1,\pm2......)$，同时也可以发现当$z=0$时辐角是无意义的。我们一般取辐角主值$argz$的区间为$-\pi<argz\leqslant\pi$，由于$-\frac{\pi}{2}<\arctan\frac{y}{x}<\frac{\pi}{2}$，故而$argz$的取值也随复数所在的位置而定。

下面是复数在不同位置时，$argz$的取值：

$$argz=\left \{\begin{matrix} \arctan\frac{y}{x} ,x>0(第一、四象限)\\ \pi+\arctan\frac{y}{x},x<0,y>0(第二象限)\\ -\pi+\arctan\frac{y}{x},x<0,y<0(第三象限)\\ \frac{\pi}{2},x=0,y>0(上半虚轴)\\ \pi,x<0,y=0(负实轴)\\ -\frac{\pi}{2},x=0,y<0(下半虚轴)\\ \end{matrix} \right.$$

故而复数也可以写成$z=x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi),r>0$，我们将后面的表达形式称为三角式，同时我们也可以用指数形式来表示复数，写为$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$，这便是著名的欧拉公式，我们有许多方法可以证明欧拉公式，在此不多赘述，现在我们便有三种形式可以表述复数了，在具体问题中，一般是哪个方便就用哪个形式

$$z=x+iy=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)=re^{i\varphi}$$