复变函数复习笔记
第一章 复数
复数的来源:
i2=−1,i=√−1
定义:称有序实数对(x,y)所确定的数z=x+iy为复数,其中x称为z的实部,记作x=Rez,y称为z的虚部,记作y=Imz。
复数相等即意味着两个复数的实部和虚部分别相等。复数的加减法也与实数类似,只是两个复数的和的实部等于两个复数的实部的和,两个复数的和的虚部等于两个复数的虚部的和而已,这里不再进行赘述。一个复数的共轭是指其实部不变,虚部取相反数的复数,例如z=x+iy与¯z=x−iy互为共轭复数,由于复数的四则运算与实数的四则运算类似,我们可以轻松得到以下结论:
z¯z=(x+iy)(x−iy)=x2−i2y2=x2+y2
我们把√x2+y2定义为|z|,称为z的模,显然我们可以得到z¯z=|z|2
令z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,有z1z2=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2)可以看到在这里复数的运算是和实数的运算相类似的。
关于复数的除法,其本身只是乘法的逆运算而已,我们可以这样来看,当z2≠0时z1z2=z1¯z2z2¯z2=(x1+iy1)(x2−iy2)|z2|2,我们把这一步操作叫做分母实数化,可以看到,此时分母已经变为了|z2|2,是一个完完全全的实数了。
三角不等式关系:|Rez|⩽|z|,|Imz|⩽|z|,|z|⩽|Rez|+|Imz|
对于复数的共轭,我们还可以有许多其他结论,比如对于z=x+iy,z+¯z=2x=2Rez,z−¯z=2iy=2iImz,于是我们可以将实数表示为复数如下:
x=Rez=z+¯z2,y=Imz=z−¯z2i
这对于以后我们用复数表示实数是十分重要的!!
其他的一些性质:¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯z1+z2=¯z1+¯z2,¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯z1−z2=¯z1−¯z2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯z1z2=¯z1¯z2,¯¯¯¯¯zn=¯zn
复数的几何表示:z=x+iy可用平面上直角坐标(x,y)与之对应,如图所示,x轴代表实轴,y轴代表虚轴,在这个平面上我们可以用向量来表示复数
由图片我们可以知道→|op|=√x2+y2=|z|,向量→op的长度称为z的模,我们把它记为r,也即r=→|op|=√x2+y2=|z|。类似于极坐标系的表示方法,我们还需要一个角度与r相关联才能唯一确定一个复数,于是我们引入复辐角的概念,如图所示:
我们定义φ是z=x+iy的辐角,记作φ=Argz,可以得到tanφ=yx。值得注意的是,我们约定argz为辐角主值,Argz=argz+2kπ,其中(k=0,±1,±2......),同时也可以发现当z=0时辐角是无意义的。我们一般取辐角主值argz的区间为−π<argz⩽π,由于−π2<arctanyx<π2,故而argz的取值也随复数所在的位置而定。
下面是复数在不同位置时,argz的取值:
argz=⎧⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
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⎪⎨⎪
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⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪⎩arctanyx,x>0(第一、四象限)π+arctanyx,x<0,y>0(第二象限)−π+arctanyx,x<0,y<0(第三象限)π2,x=0,y>0(上半虚轴)π,x<0,y=0(负实轴)−π2,x=0,y<0(下半虚轴)
故而复数也可以写成z=x+iy=r(cosφ+isinφ),r>0,我们将后面的表达形式称为三角式,同时我们也可以用指数形式来表示复数,写为eiφ=cosφ+isinφ,这便是著名的欧拉公式,我们有许多方法可以证明欧拉公式,在此不多赘述,现在我们便有三种形式可以表述复数了,在具体问题中,一般是哪个方便就用哪个形式
z=x+iy=r(cosφ+isinφ)=reiφ
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