复变函数复习笔记1.1复数

复变函数复习笔记

第一章 复数

复数的来源:

i2=1,i=1

定义:称有序实数对(x,y)所确定的数z=x+iy为复数,其中x称为z的实部,记作x=Rezy称为z的虚部,记作y=Imz

复数相等即意味着两个复数的实部和虚部分别相等。复数的加减法也与实数类似,只是两个复数的和的实部等于两个复数的实部的和,两个复数的和的虚部等于两个复数的虚部的和而已,这里不再进行赘述。一个复数的共轭是指其实部不变,虚部取相反数的复数,例如z=x+iyz¯=xiy互为共轭复数,由于复数的四则运算与实数的四则运算类似,我们可以轻松得到以下结论:

zz¯=(x+iy)(xiy)=x2i2y2=x2+y2

我们把x2+y2定义为|z|,称为z的模,显然我们可以得到zz¯=|z|2
z1=x1+iy1z2=x2+iy2,有z1z2=(x1x2y1y2)+i(x1y2+y1x2)可以看到在这里复数的运算是和实数的运算相类似的。

关于复数的除法,其本身只是乘法的逆运算而已,我们可以这样来看,当z20z1z2=z1z2¯z2z2¯=(x1+iy1)(x2iy2)|z2|2,我们把这一步操作叫做分母实数化,可以看到,此时分母已经变为了|z2|2,是一个完完全全的实数了。

三角不等式关系:|Rez||z||Imz||z||z||Rez|+|Imz|

对于复数的共轭,我们还可以有许多其他结论,比如对于z=x+iyz+z¯=2x=2Rezzz¯=2iy=2iImz,于是我们可以将实数表示为复数如下:

x=Rez=z+z¯2y=Imz=zz¯2i

这对于以后我们用复数表示实数是十分重要的!!
其他的一些性质:z1+z2¯=z1¯+z2¯z1z2¯=z1¯z2¯

z1z2¯=z1¯z2¯zn¯=z¯n

复数的几何表示:z=x+iy可用平面上直角坐标(x,y)与之对应,如图所示,x轴代表实轴,y轴代表虚轴,在这个平面上我们可以用向量来表示复数enter image description here
由图片我们可以知道|op|=x2+y2=|z|,向量op的长度称为z的模,我们把它记为r,也即r=|op|=x2+y2=|z|。类似于极坐标系的表示方法,我们还需要一个角度与r相关联才能唯一确定一个复数,于是我们引入复辐角的概念,如图所示:enter image description here
我们定义φz=x+iy的辐角,记作φ=Argz,可以得到tanφ=yx。值得注意的是,我们约定argz为辐角主值,Argz=argz+2kπ,其中(k=0,±1,±2......),同时也可以发现当z=0时辐角是无意义的。我们一般取辐角主值argz的区间为π<argzπ,由于π2<arctanyx<π2,故而argz的取值也随复数所在的位置而定。

下面是复数在不同位置时,argz的取值:

argz={arctanyx,x>0()π+arctanyx,x<0,y>0()π+arctanyx,x<0,y<0()π2,x=0,y>0()π,x<0,y=0()π2,x=0,y<0()

故而复数也可以写成z=x+iy=r(cosφ+isinφ),r>0,我们将后面的表达形式称为三角式,同时我们也可以用指数形式来表示复数,写为eiφ=cosφ+isinφ,这便是著名的欧拉公式,我们有许多方法可以证明欧拉公式,在此不多赘述,现在我们便有三种形式可以表述复数了,在具体问题中,一般是哪个方便就用哪个形式

z=x+iy=r(cosφ+isinφ)=reiφ

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