微元法计算场强相关内容

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前置内容

首先，我们需要知道空间中一点电荷在任意一点产生的场强大小是多少，我们直接给出公式

\[\vec{E}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec{e_r} \]

这个公式是下面计算场强的基础，下面开始讲解一些简单的如何以微元法计算场强的公式

细直棒作为连续的带电体

问题及题图


开始分析问题，首先，该细直棒不能看作点电荷，但我们可以将其分为无数个小的元电荷来积分进行计算，因此在长为\(L\)的细棒中取直径为\(dx\)的微元来作为元电荷，则元电荷\(dq\)所带的电荷量为\(dx\frac{Q}{l}\)，则元电荷\(dq\)在点p产生的场强可以表示为\(dE=\frac{dq}{4\pi\varepsilon_0x^2}=\frac{Qdx}{4\pi\varepsilon_0lx^2}\)，在得出了元电荷产生的场强后我们便可以直接积分得到总的场强，推导如下：

\[E=\int dE=\int_{a}^{a+l} \frac{Qdx}{4\pi\varepsilon_0lx^2}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a(a+l)} \]

最后得到

\[E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0a(a+l)} \]

圆环作为连续带电体

题图

仔细观察我们会知道,在此题目中，以o为原点建立坐标系后，分别观察圆环各部分对p点场强的方向，由于对称性，\(E_y=E_z=0\),因此我们只需要要计算\(E_x\)即可，因为这时\(E_x=E\)，我们取圆环上长度为\(dl\)的小段作为元电荷，在题目描述下\(\lambda=\frac{q}{2\pi R}\),则\(dl\)所带的电荷量\(dq=\lambda dl=\frac{qdl}{2\pi R}\)，因此，元电荷所产生的场强大小可以描述为\(dE=\frac{\lambda dl}{4\pi\varepsilon_0r^2}\)，而\(dE_x=\frac{\lambda dl}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cos\theta=\frac{\lambda dl}{4\pi\varepsilon_0r^2}\cdot\frac{x}{r}\)，对其进行积分变换则可以求出答案，推导如下：

\[\int dE_x=\frac{\lambda x}{4\pi\varepsilon_0r^3}\int_{0}^{2\pi R}dl=\frac{\lambda x}{4\pi\varepsilon_0r^3}\cdot(2\pi R) \]

最后整理可以得到结果为

\[\frac{qx}{4\pi\varepsilon_0(x^2+R^2)^\frac{3}{2}} \]

其他

还有几道典型的题，比如薄圆盘之类的，留个坑，下次和高斯定理一起写