整除及其性质

初等数论

  在学习信息安全中密码学的部分时，我们常常会涉及到很多数学问题，这些问题大多与数论有关，因此开更有关初等数论的博客

整除

定义:设 $a,b\in z,a\neq 0$,如果存在$q \in z$使得$b=aq$,那么就说$b$可以被$a$整除,记做$a\mid b$,且称$b$是$a$的倍数,$a$是$b$的约数(也称为除数或因数)

带余数除法

设$a,b$是2个正整数,且$b \neq 0$,则存在唯一整数$q$和$r$,使$a=qb+r,0\le r<|b|$,这个式子叫带余数除法,并记做$r=amodb$,例如$13mod5=2$,$10mod2=0$,当$r=0$的时候，就出现了整除,$b$是$a$的约数

如果$n$被2除的余数为0,称$n$为偶数,如果$n$被2除的余数为1，则称$n$为奇数

一些性质

整除的性质
1.若$a\mid b$且$a\mid c$,则$\forall x,y$,有$a\mid xb+yc$
2.若$a\mid b$且$b\mid c$,则$a\mid c$
3.设$m\neq 0$,则$a\mid b$,当且仅当$ma\mid mb$
4.若$a\mid b$,且$b\mid a$,则$a=\pm b$
5.若$a\mid b$,且$b \neq 0$,则$|a|\le|b|$

余数的性质
1.$(a+b)modp=(amodp+bmodp)modp$
2.$(a\times b)modp=(amodp \times bmodp)modp$
$注:mod为取模运算$