整除及其性质

初等数论

  在学习信息安全中密码学的部分时，我们常常会涉及到很多数学问题，这些问题大多与数论有关，因此开更有关初等数论的博客

整除

定义:设 \(a,b\in z,a\neq 0\),如果存在\(q \in z\)使得\(b=aq\),那么就说\(b\)可以被\(a\)整除,记做\(a\mid b\),且称\(b\)是\(a\)的倍数,\(a\)是\(b\)的约数(也称为除数或因数)

带余数除法

设\(a,b\)是2个正整数,且\(b \neq 0\),则存在唯一整数\(q\)和\(r\),使\(a=qb+r,0\le r<|b|\),这个式子叫带余数除法,并记做\(r=amodb\),例如\(13mod5=2\),\(10mod2=0\),当\(r=0\)的时候，就出现了整除,\(b\)是\(a\)的约数

如果\(n\)被2除的余数为0,称\(n\)为偶数,如果\(n\)被2除的余数为1，则称\(n\)为奇数

一些性质

整除的性质
1.若\(a\mid b\)且\(a\mid c\),则\(\forall x,y\),有\(a\mid xb+yc\)
2.若\(a\mid b\)且\(b\mid c\),则\(a\mid c\)
3.设\(m\neq 0\),则\(a\mid b\),当且仅当\(ma\mid mb\)
4.若\(a\mid b\),且\(b\mid a\),则\(a=\pm b\)
5.若\(a\mid b\),且\(b \neq 0\),则\(|a|\le|b|\)

余数的性质
1.\((a+b)modp=(amodp+bmodp)modp\)
2.\((a\times b)modp=(amodp \times bmodp)modp\)
\(注:mod为取模运算\)