质数筛与欧拉函数

1|0第一课时

1|1复习及引入

质数判断

bool isPrime(int x){
    if(x<2) return false;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0) return false;
    }
    return true;
}

复杂度分析 \(O(\sqrt{n})\)

引入问题，输入n(\(1\leq n\leq10^6\))个数字(\(0\leq x \leq 10^6\))，判断每个数是不是质数？

利用已有知识，程序框架：

while(n--){//循环n次
    cin>>x;//输入数字
    if(isPrime(x)){//判断x是否是质数
        cout<<"Yes\n";
    }else{
        cout<<"No\n";
    }
}

我们来分析下时间复杂度 \(O(n\sqrt{x})\) 。

思考，当前数据范围下是否能在1s时限内求出答案。

回答：\(10^6\times 10^3 = 10^9\) 会超时。

进一步，该怎么去更快的处理大范围内的质数？

我们提前设置一个标记数组prime[N] ,提前标记好数字的质数状态，这样就能减少重复判断。

引出质数筛法

核心思想：唯一分解定理

每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

1|2埃氏筛

​ 埃拉托斯特尼选筛法，简称埃氏筛。要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

来理解下埃氏筛的思想

根据唯一分解定理的前半截“每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积”，那么换个角度去理解，合数一定是某个质数的倍数。

\[\begin{split} & 6=2\times 3\\ & 12=2\times 2\times 3\\ & 15=3\times 5 \end{split} \]

那么，当我确定一个数为质数，我自然可以将它所有的范围内的倍数(\(\ge 2\))找出来，这些倍数一定是合数。

也就是若\(p\)为质数，那么\(j\times p,(j\ge2,j\times p\le n )\) 就是合数。

以30以内的筛选为例

\[\begin{split} & \ \ 2\ :\ 4\ 6\ 8\ 10\ 12\ 14\ 16\ 18\ 20\ 22\ 24\ 26\ 28\ 30\\ & \ \ 3\ :\ 6\ 9\ 12\ 15\ 18\ 21\ 24\ 27\ 30\\ & \ \ 5\ :\ 10\ 15\ 20\ 25\ 30\\ & \ \ 7\ :\ 14\ 21\ 28\\ & 11\ :\ 22\\ & 13\ :\ 26\\ & 17\ :\\ & 19\ :\\ & \ \ \ ... \end{split} \]

配合图片，尝试手动模拟筛选过程。

算法步骤：

1. 设置一个标记数组vis[N],初始化为0。0-是质数 1-不是质数
2. 处理特殊值 0 ，1
3. 从2开始，依次将范围内的质数的倍数标记为1（非质数）

1|0初版:

const int N=1e6+5;
bool vis[N];
void esieve(int n){//标记0~n的数字的质数状态,并统计质数个数
	vis[0]=vis[1]=1;//0，1属于非质数
	for(int i=2;i<=n;i++){//标记剩下的2~n的数字的状态
		if(vis[i]==0){//判断i是不是质数 思考：为什么这样就能判断i是质数？
			for(int j=2*i;j<=n;j+=i){//遍历范围内的i的倍数
				vis[j]=1;//将倍数标记为1（非质数）
			}
		}
	}
}

思考：第6行，为什么这样就能判断i是质数？

解答：状态数组初始化为0，循环的方向是从小到大，过程中质数的在范围内的倍数都会被筛选掉。那么到i如果还是0,意味着质因子中不包含前面的这些质数，一个数在2~i-1这个范围内没有因子，那么他就是质数。

1|0优化1

根据约数的分布性，一个数n如果是合数，其中较小的约数范围一定是在\(\sqrt{n}\) 内。那么对于\(\sqrt{n}+1\)~\(n\) 范围内的合数，一定可以被\(2\)~\(\sqrt{n}\) 内的质数筛选掉。

const int N=1e6+5;
bool vis[N];
void esieve(int n){//标记0~n的数字的质数状态,并统计质数个数
    vis[0]=vis[1]=1;
	for(int i=2;i*i<=n;i++){//标记剩下的2~n的数字的状态 优化：到根号n即可停止
		if(vis[i]==0){//判断i是不是质数 
			for(int j=2*i;j<=n;j+=i){//遍历范围内的i的倍数
				vis[j]=1;//将倍数标记为1（非质数）
			}
		}
	}
}

1|0优化2

\[\begin{split} & \ \ 2\ :\ 4\ 6\ 8\ 10\ 12\ 14\ 16\ 18\ 20\ 22\ 24\ 26\ 28\ 30\\ & \ \ 3\ :\ 6\ 9\ 12\ 15\ 18\ 21\ 24\ 27\ 30\\ & \ \ 5\ :\ 10\ 15\ 20\ 25\ 30\\ & \ \ 7\ :\ 14\ 21\ 28\\ & 11\ :\ 22\\ & 13\ :\ 26\\ & 17\ :\\ & 19\ :\\ & \ \ \ ... \end{split} \]

过程中可发现很多数字被重复筛选了。

接下来就是减少重复筛选，以提高运行速度。

观察重复的数字 :

\[\begin{split} 6& = 2\times 3\\ &=3 \times 2\\ 10&=2\times 5\\ &=5\times 2 \end{split} \]

可发现质数p与比它小的质数相乘得到的乘积，一定在之前被那么更小的质数筛过。那么筛选的时候直接从\(p^2\)开始筛选，避免重复。

const int N=1e6+5;
bool vis[N];
void esieve(int n){//标记0~n的数字的质数状态,并统计质数个数
    vis[0]=vis[1]=1;
	for(int i=2;i*i<=n;i++){//标记剩下的2~n的数字的状态 优化：到根号n即可停止
		if(vis[i]==0){//判断i是不是质数 
			for(int j=i*i;j<=n;j+=i){//遍历范围内的i的倍数 从i*i开始，减少重复筛选
				vis[j]=1;//将倍数标记为1（非质数）
			}
		}
	}
}

时间复杂度\(O(nloglogn)\)

复杂度分析链接：https://www.cnblogs.com/dc93/p/3930362.html

1|3习题巩固

1|0题目描述

今天是贝茜的生日，为了庆祝自己的生日，贝茜邀你来玩一个游戏。

贝茜让 N (\(1\leq N\leq 10^5\) ) 头奶牛坐成一个圈。除了$ 1 \(号与\) N \(号奶牛外，\)i$ 号奶牛与$ i−1 $号和 \(i+1\) 号奶牛相邻。$N $号奶牛与 \(1\) 号奶牛相邻。农夫约翰有一个桶，里面装满了很多纸条，每一张纸条上写了一个不一定是独一无二的 $1 $到\(10^6\) 的数字。

接着每一头奶牛 \(i\) 从桶中取出一张纸条$ A_i$ 。每头奶牛轮流走上一圈，同时拍打所有手上数字能整除在自己纸条上的数字的牛的头，然后做回到原来的位置。牛们希望你帮助他们确定，每一头奶牛走上一圈时能够拍打的牛的数量。

1|0输入格式

第一行包含一个整数n

第二行到n+1行每行包含一个整数\(A_i\)

1|0输出格式

共n行，每行包含一个整数，代表被拍打的牛的数量

1|0样例输入

5
2
1
2
3
4

1|0样例输出

2
0
2
1
3

1|0分析

根据题意概括一下，就是给出数列a,对于第i项的\(a_i\)求出数列中有多少个是他的约数。

暴力

遍历其它元素，统计他的约数的个数即可。复杂度\(O(n^2)\)

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
        if(i!=j&&a[i]%a[j]==0){
            cnt++;
        }
    }
}

优化

利用埃氏筛的思想，统计数组中的内容，对它的倍数做的贡献即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int a[N],cnt[N],M=0;//cnt[x]=k x在数列中的约数个数为k
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		cnt[a[i]]++;//记录次数
		M=max(M,a[i]);//求值得最大范围
	}
	for(int i=M;i>=1;i--){//从到大小进行遍历
		if(!cnt[i]) continue;//没出现过的直接跳过
		for(int j=2;j*i<=M;j++){//找范围内的i的倍数
			if(cnt[j*i])//如果倍数也是在数列中的值
				cnt[j*i]+=cnt[i];//倍数对应的在数列中的因数个数增加
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<cnt[a[i]]-1<<endl;//注意要去掉自己
	}
	return 0;
}

2|0第二课时

2|1欧拉筛

模拟出埃氏筛的筛选过程。

\[\begin{split} & \ \ 2\ :\ 4\ 6\ 8\ 10\ 12\ 14\ 16\ 18\ 20\ 22\ 24\ 26\ 28\ 30\\ & \ \ 3\ :\ 9\ 12\ 15\ 18\ 21\ 24\ 27\ 30\\ & \ \ 5\ :\ 25\ 30\\ & \ \ 7\ :\ \\ & 11\ :\ \\ & 13\ :\ \\ & 17\ :\\ & 19\ :\\ & \ \ \ ... \end{split} \]

即便进行了一定的优化，但是依旧存在数字被重复筛选的问题。它的复杂度依旧不变\(O(nloglogn)\) 。

此时，若能让每个数字只被筛选一次，必然能大大地降低时间复杂度，减少运行时间，理论上的时间复杂度为\(O(n)\) 。

这种每个数字只被筛一遍的筛法叫做欧拉筛，也被称作线性筛。

那么，关键是，如何实现这一算法？

我们依旧利用唯一分解定理来实现。之前的埃氏筛，利用到了唯一分解定理的前半段，这次我们利用好它的后半截。

每个大于1的自然数，要么本身就是质数，要么可以写为2个或以上的质数的积，而且这些质因子按大小排列之后，写法仅有一种方式。

合数对应的分解因式，只要我们将这小质因子按大小排列好，那么分解式子就是唯一的。

我们要利用他的唯一性来做文章。我们只要能不重复的构造出这样的“唯一的质数序列”，那么必然不会重复筛选了。

此时我们将任意的一个数字都可看做为一个唯一的质数序列，如\(12\)可看作是序列\(2\times 2\times 3\) 。此时我们只要再找个质数，与这样的质数序列组合即可构成新的质数序列。

需要注意的是，如何防止重复？也就是怎么保证构造出来的序列的唯一性？我们新的质数组合进去之后，只要不破坏序列整体的有序性，即可实现不重复。假设，我们每次将质数是加在序列的前头，那么只需要\(P_{新质数}\leq 序列的最小质因子\) 即可保证整体有序。

例如 通过 \(2\times 2\times 3\) 进行新序列的组合的话，只能加质数2，形成新序列\(2\times 2\times 2\times 3=24\)。如果是序列\(15=3\times 5\)的话只能和2，3组合，形成新序列\(2\times 3\times5=30\)和\(3\times 3\times5=45\) 。

这样，我们在实现的时候就要在之前的基础上多一个质数表存放质数，好利用这些质数构成质数序列。

模板

时间复杂度\(O(n)\)

const int N=1e8+5;
bool vis[N];//标记数组
int prime[N/10];//质数表，存放质数
int erla(int n){
	vis[0]=vis[1]=1;//0.1不是质数
	int cnt=0;//统计质数的个数
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){//判断i是不是质数
			prime[cnt++]=i;//将质数存到质数表中
		}
		//遍历质数表 新序列 prime[j]*i
		for(int j=0;prime[j]*i<=n&&j<cnt;j++){
			vis[prime[j]*i]=1;//标记组成的序列为非质数
			if(i%prime[j]==0) break;//prime[j]是i的最小质因子 ，不能继续组合，避免重复
		}
	}
	return cnt;//返回质数个数
}

思考：14行操作的意义，思考为什么这么做就能不重复地筛选？

回答：质数表中的质数是从小到大的，在遍历质数表时，可看做满足\(p_j\le i的最小值因子\) ，遍历到的质数与i构成的序列就不重复。当满足整除条件时，prime[j]就是等于i的最小质因子，再遍历下去，就不满足质数从小到大的关系。

2|2习题巩固

1|0哥德巴赫猜想（升级版）

1|0问题描述

求1~N中素数的个数。

1|0输入格式

一行一个整数N。

1|0输出格式

一行一个数，表示素数的个数。

1|0输入样例

10

1|0输出样例

4

1|0数据范围

对于40%的数据，\(1\leq N\leq 10^6\)。

对于80%的数据，\(1\leq N\leq 10^7\)。

对于100%的数据，\(1\leq N\leq 10^8\)。

1|0分析

注意数据范围，套欧拉筛模板即可。

3|0第三课时

3|1欧拉函数

​ 在数论中，对正整数n欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。

​ 例如\(\phi(1)=1,(1)\),\(\phi(8)=4,(1,3,5,7)\)。如果i是素数，则\(\phi(i)=i-1\)。

设p为质数

三个性质：

1. \(\phi(p)=p-1\)
2. \(i\ mod\ p = 0,\phi(i\times p)=p\times \phi(i)\)
3. \(i\ mod\ p \ne 0,\phi(i\times p)=(p-1)\times \phi(i)\)

实现代码

时间复杂度\(O(n)\)

bool vis[N];//标记数组
int prime[N];//质数表，存放质数
int phi[N];
int erla(int n){
	vis[0]=vis[1]=1;//0.1不是质数
	int cnt=0;//统计质数的个数
	phi[1]=1;//1的欧拉函数值是1
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){//判断i是不是质数
			prime[cnt++]=i;//将质数存到质数表中
			phi[i]=i-1;//性质1
		}
		//遍历质数表 新序列 prime[j]*i
		for(int j=0;prime[j]*i<=n&&j<cnt;j++){
			vis[prime[j]*i]=1;//标记组成的序列为非质数
			if(i%prime[j]==0){
				phi[i*prime[j]]=prime[j]*phi[i];//性质2
				break;//prime[j]是i的最小质因子 ，不能继续组合，避免重复
			}else{
				phi[i*prime[j]]=(prime[j]-1)*phi[i];//性质3
			}
		}
	}
	return cnt;//返回质数个数
}

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本文作者：爱学习的咸鱼君
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