P1439 【模板】最长公共子序列

前置知识：

$LIS$ :

即最长上升子序列 ( $Longest$ $Increasing$ $Subsequence$ )

Luogu B3637 最长上升子序列

这是一个简单的动规板子题。
给出一个由 $n(n\le 5000)$ 个不超过 ${10}^6$ 的正整数 ($x_1,x_2,\cdots ,x_n$) 组成的序列。请输出这个序列的最长上升子序列的长度。
最长上升子序列是指，从原序列中按顺序取出一些数字排在一起，这些数字是逐渐增大的。

设计状态 $dp[i]$ 代表以第 $i$ 个数字结尾的最长上升子序列。
并且有两层循环，第一层枚举 $i$ 即结尾数字。
第二层枚举 $j$ 从 $1\to i-1$ 枚举结尾数字前的数字，并进行状态转移。
状态转移的条件：当 $x_i>x_j$ 时，说明 $dp[i]$ 可以继承 $dp[j]$
则有：

for(int i = 1;i <= n;i++){
    for(int j = i - 1;j >= 1;j--){
        if(a[i] > a[j]){
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
}

然后再从 $dp[1],dp[2],\cdots ,dp[n]$ 中选出最大值即可。
则有解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int MAXN = 1000005;
int a[MAXN];
int dp[MAXN];
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d", &a[i]);
        dp[i] = 1;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = i - 1;j >= 1;j--){
            if(a[i] > a[j]){
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
        }
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        dp[i] = max(dp[i], dp[i - 1]);
    }
    printf("%d", dp[n]);
    return 0;
}

主解

$LCS$

即最长公共子序列 ( $Longest$ $Common$ $Subsequence$ )
P1439 【模板】最长公共子序列

题目描述

给出 $1,2,\dots ,n$ 的两个排列 $P_1$ 和 $P_2$ ，求它们的最长公共子序列。
输入格式

第一行是一个数 $n$。
接下来两行，每行为 $n$ 个数，为自然数 $1,2,\dots ,n$ 的一个排列。

解法一 $O(n^2)$:

设排列 $P_1=A$ , $P_2=B$
设计状态 $dp[i][j]$ 表示排列 $A_1,A_2,\cdots ,A_i$ 和 $B_1,B_2,\cdots ,B_j$ 的最长公共子序列。
则两层循环分别枚举 $i$ , $j$。
并有状态转移方程：
$\{\begin{array}{c}dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])\to A_i\ne B_j\\ dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1)\to A_i=B_j\end{array}$
那么有解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int MAXN = 1000005;
int a1[MAXN], a2[MAXN];
int dp[1001][1001];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin>>a1[i];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        cin>>a2[i];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        for(int j = 1;j <= n;j++){
            if(a1[i] == a2[j]){
                dp[i][j] = max(dp[i][j] , dp[i - 1][j - 1] + 1);
            }else{
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j] , dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][n];
    return 0;
}

当然了 $O(n^2)$ 只能拿到 50pts
于是

解法二 $O(nlogn)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
const int MAXN = 1000005;
int a1[MAXN],a2[MAXN];
int belong[MAXN];
int f[MAXN],b[MAXN],len;
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d", &a1[i]);
        belong[a1[i]] = i;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        scanf("%d", &a2[i]);
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        if(belong[a2[i]] > b[len]){
            b[++len] = belong[a2[i]];
            f[i] = len;
            continue;
        }
        int pos = lower_bound(b + 1, b + len + 1,belong[a2[i]]) - b;
        b[pos] = belong[a2[i]];
        f[i] = pos;
    }
    printf("%d", len);
    return 0;
}

$END$