P3932 浮游大陆的68号岛

题意

第二行 $n - 1$ 个数，第 $i$ 个数表示第 $i$ 个储物点与第 $i + 1$ 个储物点的距离

有 $n$ 个储物点，每个储物点 $i$ 有 $x$ 个东西，要运到储物点 $j$ ，代价为

x \times dist (i, j)

dist就是仓库间的距离。

之后 $m$ 行每行三个数x l r

表示查询要把区间 $[l, r]$ 储物点的物品全部运到储物点x的花费

对于100%的数据 , $n, m \leq 200000; a_{i}, b_{i} <= 2 \cdot 10^{9}$

您的答案需要对19260817取模。

解法

首先把题意转换成数学形式化语言：

对于一次查询，我们的花费是：

\sum_{i = l}^{r} | p r e_{i} - p r e_{x} | \times a_{i}

其中 $p r e_{i}$ 表示储物点 $1$ 到储物点 $i$ 的距离。

发现有绝对值，那么就需要我们对 $x$ 的大小进行分类讨论。

$x \leq l$

此时 $p r e_{x} \leq p r e_{i}$ ，所以直接去掉绝对值即可：

\sum_{i = l}^{r} (p r e_{i} - p r e_{x}) \times a_{i} = \sum_{i = l}^{r} p r e_{i} \times a_{i} - p r e_{x} \times \sum_{i = l}^{r} a_{i}

我们设 $p r e a_{i}$ 是 $p r e_{i} \times a_{i}$ 的前缀和， $a a_{k}$ 为 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i}$

则式子变为：

(p r e a_{r} - p r e a_{l - 1}) - p r e_{x} \times (a a_{r} - a a_{l} - 1)

可以 $O (1)$ 计算。

$x \geq r$

与1的情况同理，可以得到计算式为：

p r e_{x} \times (a a_{r} - a a_{l - 1}) - (p r e a_{r} - p r e a_{l - 1})

$l < x < r$

答案可以看成：

\sum_{i = l}^{x} (p r e_{x} - p r e_{i}) \times a_{i} + \sum_{i = x}^{r} (p r e_{i} - p r e_{x}) \times a_{i}

化简后可以得到：

(p r e a_{x} - p r e a_{l - 1}) + p r e_{x} \times (a a_{x} - a a_{l - 1}) + (p r e a_{r} - p r e a_{x - 1}) + p r e_{x} \times (a a_{r} - a a_{x - 1})

那么我们只要预处理出 $p r e_{i} \times a_{i}$ ， $a_{i}$ ， $d i s_{i}$ ，的前缀和就可以了。

code:

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MOD = 19260817;
const int MAXN = 2e5 + 1;
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0' && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
inline void write(int x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)write(x/10);putchar(x%10+'0');return;}

int n,m;
int d[MAXN];
int a[MAXN];
long long prea[MAXN],pre[MAXN];
long long aaa[MAXN];
int xx,ll,rr;
int ans = 0;
int solve(int x,int l,int r){
	ans = 0;
	if(x <= l){
		ans = ((ans + prea[r] - prea[l - 1]) % MOD + MOD) % MOD;
		ans = (((ans - pre[x] * aaa[r]) % MOD + MOD) % MOD + pre[x] * aaa[l - 1]) % MOD;
	}else if(x >= r){
		ans = ((ans + pre[x] * (aaa[r] - aaa[l - 1])) % MOD + MOD) % MOD;
		ans = ((ans - (prea[r] - prea[l - 1])) % MOD + MOD) % MOD;
	}else{
		ans = ((ans + pre[x] * aaa[x] - pre[x] * aaa[l - 1] % MOD) + MOD) % MOD;
		ans = ((ans - (prea[x] - prea[l - 1])) % MOD + MOD) % MOD;
		
		ans = ((ans + prea[r] - prea[x - 1]) % MOD + MOD) % MOD;
		ans = ((((ans - pre[x] * aaa[r]) % MOD + MOD) + pre[x] * aaa[x - 1]) % MOD + MOD) % MOD;
	}
	return ans;
}
int i;
signed main(){
	n = read();m = read();
	for(i = 1;i < n;i++) d[i] = read(),d[i] %= MOD;
	for(i = 1;i <= n;i++) a[i] = read(),a[i] %= MOD;
	for(i = 1;i <= n;i++) aaa[i] = (aaa[i - 1] + a[i]) % MOD;
	for(i = 1;i <= n;i++) pre[i] = (pre[i - 1] + d[i - 1]) % MOD;
	for(i = 1;i <= n;i++) prea[i] = (prea[i - 1] + (pre[i] * a[i])) % MOD;
	for(i = 1;i <= m;i++){
		xx = read(),ll = read(),rr = read();
		write(solve(xx,ll,rr));
		printf("\n");
	}
	return 0;
}