P5078 Tweetuzki 爱军训

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引言

本文更注重推导过程，无法理解其他题解的可以来这里看看。

解法

考虑贪心。

用 $a n s$ 表示最后的答案，在刚开始时假设全部都按 $1 \to n$ 的顺序出列，则 $a n s = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} \times i$ 。

对第 $k$ 个同学出列的价值变化考虑，有：

a n s = \sum_{i = 1}^{k - 1} w_{i} \times i + \sum_{k + 1}^{n} w_{i} \times (i - 1) + n \times w_{k}

我们计算初始的 $a n s$ 和变化后的 $a n s$ 值的差值：

d e l t a = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} \times i - (\sum_{i = 1}^{k - 1} w_{i} \times i + \sum_{k + 1}^{n} w_{i} \times (i - 1) + n \times w_{k})

= \sum_{i = 1}^{n} w_{i} \times i - \sum_{i = 1}^{k - 1} w_{i} \times i - \sum_{k + 1}^{n} w_{i} \times (i - 1) - n \times w_{k}

= \sum_{i = k}^{n} w_{i} \times i - \sum_{i = k + 1}^{n} w_{i} \times i + \sum_{k + 1}^{n} w_{i} - n \times w_{k}

= (k - n) \times w_{k} - \sum_{k + 1}^{n} w_{i}

我们设 $p r e_{m} = \sum_{i = 1}^{m} w_{i}$

则：

d e l t a = (k - n) \times w_{k} - (p r e_{n} - p r e_{k})

如果 $d e l t a < 0$ ，则说明第 $k$ 位上同学在教官反着走的时候出列，比在教官正着走时出列更优，则使得第 $k$ 为上的人出列即可。

那么我们的核心代码就很好写了：

for(int k = 1;k <= n;k++){
    if(pre[n] - pre[k] + (k - n) * w[k] < 0){
        ans += -(pre[n] - pre[k] + (k - n) * w[k]);
        id[k] = true;
	}
}

证明

我们推导的时候会发现，有没有可能选择一个 $k$ 位置上的人，反着走时被选择，会对其他人的选择贪心判断造成影响。

考虑在我们想要选择 $k$ 位置上的人时，前面已经有一个 $s$ 位置上的人被选了。（ $k > s$ ）

则选择这两个后的 $a n s$ 会变为：

\sum_{i = 1}^{s - 1} w_{i} \times i + \sum_{i = s + 1}^{k - 1} w_{i} \times (i - 1) + \sum_{i = k + 1}^{n} w_{i} \times (i - 2) + w_{s} \times n + w_{k} \times (n - 1)

那么 $d e l t a$ 会变为：

\sum_{i = 1}^{n} w_{i} \times i - (\sum_{i = 1}^{s - 1} w_{i} \times i + \sum_{i = s + 1}^{k - 1} w_{i} \times (i - 1) + \sum_{i = k + 1}^{n} w_{i} \times (i - 2) + w_{s} \times n + w_{k} \times (n - 1))

= \sum_{i = s}^{n} w_{i} \times i - \sum_{i = s + 1}^{k - 1} w_{i} \times (i - 1) - \sum_{i = k + 1}^{n} w_{i} \times (i - 2) - w_{s} \times n - w_{k} \times (n - 1)

= \sum_{i = s}^{n} w_{i} \times i - \sum_{i = s + 1}^{k - 1} w_{i} \times i + \sum_{i = s + 1}^{k - 1} w_{i} - \sum_{i = k + 1}^{n} w_{i} \times i + \sum_{i = k + 1}^{n} 2 w_{i} - w_{s} \times n - w_{k} \times n + w_{k}

= (\sum_{i = k}^{n} w_{i} \times i + w_{s} \times s) + (p r e_{k - 1} - p r e_{s}) - \sum_{i = k + 1}^{n} w_{i} * i + 2 \times (p r e_{n} - p r e_{k}) - w_{s} \times n - w_{k} \times n + w_{k}

= w_{k} \times (k - n) + w_{s} \times (k - n) + (p r e_{n} - p r e_{k}) + (p r e_{n} - p r e_{s}) + w_{k} - (p r e_{k - 1} - p r e_{k})

= {(k - n) \times w_{k} - (p r e_{n} - p r e_{k})} + {(s - n) \times w_{s} - (p r e_{n} - p r e_{s})}

那么我们发现，最后的式子可以拆成 $s$ 单独选择和 $k$ 单独选择后加起来。

同理可得，无论多少个数选择都不会对彼此造成影响，也就是说这些选择彼此是独立的。

那么贪心即可，代码超短：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN = 1e6 + 7;
int n;
int w[MAXN];
bool id[MAXN];
int pre[MAXN];
int ans;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++) cin >> w[i],pre[i] = pre[i - 1] + w[i];
    for(int i = 1;i <= n;i++) pre[i] = pre[i - 1] + w[i],ans += w[i] * i;
    for(int k = 1;k <= n;k++){
        if(pre[n] - pre[k] + (k - n) * w[k] < 0){
            ans += -(pre[n] - pre[k] + (k - n) * w[k]);
            id[k] = true;
        }
    }
    cout << ans << endl;
    for(int i = 1;i <= n;i++) if(!id[i]) cout << w[i] << " ";
    for(int i = n;i >= 1;i--) if(id[i]) cout << w[i] << " "; 
    return 0;
}