Sum of XOR Functions

Sum of XOR Functions

题目

有一个序列 $a$，计算：

$$\sum _{l=1}^n\sum _{r=l}^n(r-l+1)\times \underset{i=l}{\overset{r}{⨁}}{a}_i$$

思路

位运算的题，我们对于每一位进行考虑，会发现构成了很多个 $0,1$ 序列，则我们对于每一个序列考虑价值，求和即可。

设 $b$ 序列为这一位上的 $0,1$ 序列。

对于 $0,1$ 序列的一段区间的异或和，只有在这段区间中 $1$ 的数量为奇数个时才为 $1$。

我们用 $cn{t}_{i,0/1}$ 表示这一位的零一序列中第 $i$ 个位置前 $0/1$ 出现的个数。

用 $su{m}_{i,0/1}$ 表示：

$$\sum _{\{\underset{k=x}{\overset{i}{⨁}}{b}_k\}=0/1}^x(i-x)$$

也就是说，表示对于 $i$ 位置前所有能满足使 $\{\underset{k=x}{\overset{i}{⨁}}{b}_k\}=1$ 的位置 $x$ 到位置 $i$ 的距离和。

我们发现当我们预处理完成这些数组时，就可以 $O(1)$ 求出：$\sum _{x=1}^i\{\underset{k=x}{\overset{i}{⨁}}{b}_k\}$ 的值了。

接下来就是 $O(n)$ 的复杂度枚举右端点的值即可。

主要思路到此结束。

$code$

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int MOD = 998244353;
const int MAXN = 3e5 + 7;
int n,a[MAXN];
int cnt[MAXN][2],sum[MAXN][2];
int pre[MAXN];
int ans = 0;
signed main(){
	scanf("%lld", &n);
	for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%lld", &a[i]);
	for(int w = 0;w <= 31;w++){
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		memset(sum,0,sizeof(sum));
		memset(pre,0,sizeof(pre));
		cnt[0][0] = 1;
		for(int i = 1;i <= n;i++){
			pre[i] = pre[i - 1];
			cnt[i][0] = cnt[i - 1][0];
			cnt[i][1] = cnt[i - 1][1];
			sum[i][0] = sum[i - 1][0];
			sum[i][1] = sum[i - 1][1];
			pre[i] += (a[i] >> w) & 1;
			if(pre[i] & 1) cnt[i][1]++,sum[i][1] += i;
			else cnt[i][0]++,sum[i][0] += i;
		}
		for(int i = 1;i <= n;i++){
			if(pre[i] & 1) ans = (ans + ((cnt[i - 1][0] * i - sum[i - 1][0]) % MOD) * (1 << w) % MOD) % MOD;
			else ans = (ans + ((cnt[i - 1][1] * i - sum[i - 1][1]) % MOD) * (1 << w) % MOD) % MOD;
			ans = ans % MOD;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}