树上问题/简单算法 LCA【最近公共祖先】

概念引入

• 最近公共祖先简称 $LCA$（Lowest Common Ancestor）。两个节点的最近公共祖先，就是这两个点的公共祖先里面，离根最远的那个。

在下面的说明中，我们设两个节点分别为 $x$,$y$，节点 $x$,$y$ 的深度分别表示为 $de{p}_x$,$de{p}_y$,将树称为 $T$

算法详解:

朴素算法：

先将节点 $x$ 的深度提升到与 $y$ 节点深度相同的位置，然后两个一起一个一个往上跳，直到相遇。

那么易知时间复杂度为 $O(n)$，因为过于朴素，这里就不给出代码了。

倍增算法：

对于朴素算法中的：

“然后两个一起一个一个往上跳”

我们可以用倍增的方式完成跳跃.

那么如何实现呢?

我们知道,任何一个非负整数都可以进行二进制拆分.例如:

• $7=2^0+2^1+2^2$
• $14=2^1+2^2+2^3$

那么如果需要向上跳的次数为 $n$,则朴素算法的时间复杂度为 $O(n)$,而倍增算法的复杂度就可以达到$O(lo{g}_{2}n)$.

( 对于将 $x$,$y$ 提升到同一高度的过程,同样可以使用倍增的算法来实现,这里不多加说明 )

接下来考虑如何实现

我们设 $f{a}_{x,i}$ 为 $x$ 节点的 $2^i$ 级的祖先,即 $x$ 节点向上走 $2^i$ 步所到达的节点

1. 预处理 $fa$ 数组:

我们知道:$2^n=2^{n-1}\ast 2^{n-1}$

那么我们可以将向上走 $2^i$ 步看作先走 $2^{i-1}$ 再走 $2^{i-1}$ 步

则有: $f{a}_{x,i}=f{a}_{f{a}_{x,i-1},i-1}$ 这可以说是非常关键的一步

因为 $\mathrm{\forall }x\in T$ , $f{a}_{x,0}$ (即 $x$ 的父节点)都可以通过一遍 $dfs$ 解决

for(int i = 1;i <= log2(n);i++){
    for(int j = 1;j <= n;j++){
        fa[j][i] = fa[fa[j][i - 1]][i - 1];
    }
}

2. 将 $x$,$y$ 提升到同一高度:

主要思想是将 $x$,$y$ 的深度差值进行二进制拆分

if(dep[x] < dep[y]) swap(x,y);//保证x的深度大于y,方便后面的计算
int delta = dep[x] - dep[y];
for(int i = 0;i <= log2(n);i++){
    if((1 << i) & delta) x = fa[x][i];//向上跳,本质是对delta进行二进制拆分
}

3. $x$,$y$ 同时向上跳

这里有一个细节,即是将 $i$ 从 $lo{g}_{2}n$ 往 $0$ 枚举,这样可以避免拆分的重复或漏

for(int i = log2(n);i >= 0;i--){
    if(fa[x][i] != fa[y][i]){
        //Leap!
        x = fa[x][i];
        y = fa[y][i];
    }
}

我们可以将第二步和第三步封装成一个函数:

int lca(int x,int y){
    if(dep[x] < dep[y]) swap(x,y);
    int delta = dep[x] - dep[y];
    for(int i = 0;i <= log2(n);i++){
        if((1 << i) & delta) x = fa[x][i];
    }
    if(x == y){
        return x;
    }
    for(int i = log2(n);i >= 0;i--){
        if(fa[x][i] != fa[y][i]){//这里最终跳跃到的是lca(x,y)的子节点
            x = fa[x][i];
            y = fa[y][i];
        }
    }
    return fa[x][0];
}

那么我们的倍增算法就好了,可知其时间复杂度为 $O(lo{g}_{2}n)$

这里附上完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5e5 + 7;
const int LOG = 30;
int n,m,r;
int dep[MAXN];
int fa[MAXN][LOG];
bool vis[MAXN];
vector<int> tree[MAXN];
void dfs(int root){
	vis[root] = true;
	if(tree[root].size() == 0){
		return;	
	}
	for(int to : tree[root]){
		if(!vis[to]){
			dep[to] = dep[root] + 1;
			fa[to][0] = root;
			dfs(to);	
		}		
	}
}
int lca(int x,int y){
	//Leap to a same depth:
	int dx = dep[x],dy = dep[y];
	if(dep[x] != dep[y]){
		if(dx < dy){
			swap(dx,dy);
			swap(x,y);
		}
		int delta = dx - dy;
		for(int i = 0;i <= LOG - 2;i++){
			if((1 << i) & delta) x = fa[x][i];
		}
	}
	if(x == y){
		return x;
	}
	//Leap to the child node of lca(x,y)
	for(int i = LOG - 2;i >= 0;i--){
		if(fa[x][i] != fa[y][i]) {
            x = fa[x][i];
            y = fa[y][i];
        }
	}
	return fa[x][0];
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &r);
	for(int i = 1;i < n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		tree[x].push_back(y);
		tree[y].push_back(x);
	}
	dep[r] = 1;
	fa[r][0] = 0;
	//Pre-Processing
	dfs(r);
	for(int i = 1;i <= LOG - 2;i++){
		for(int j = 1;j <= n;j++){
			fa[j][i] = fa[fa[j][i - 1]][i - 1];
		}
	}
	for(int i = 1;i <= m;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d", &x, &y);
		printf("%d\n", lca(x,y));
	}
	return 0;
}