组合数取模（转载）

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概述

首先我们要知道什么是组合数。具体可以参考我之前的博客 “排列与组合”笔记中，集合的组合的部分。

这里复述如下：令r为非负整数。我们把n个元素的集合S的r-组合理解为从S的n个元素中对r个元素的无序选择。换句话说，S的一个r-组合是S的一个子集，该子集由S的n个元素中的r个组成，即S的一个r-元素子集。

由此，求解组合数即变成了求式子C(n, r) 的值。

法一：Pascal公式打表

{C (n, k) = C (n, 0) = C (n - 1, k - 1) + C (n - 1, k) C

取二维数组 tC[][] ，初始化 tC[0][0] = 1; 打表即可。代码最简单，如下：

 1 const int maxn(1005), mod(100003);
 2 int tC[maxn][maxn]; //tC 表示 table of C
 3 
 4 inline int C(int n, int k)
 5 {
 6     if(k > n) return 0;
 7     return tC[n][k];
 8 }
 9 
10 void calcC(int n)
11 {
12     for(int i = 0; i < n; i++)
13     {
14         tC[i][0] = 1;
15         for(int j = 1; j < i; j++)
16             tC[i][j] = (C(i - 1, j - 1) + C(i - 1, j)) % mod;
17         tC[i][i] = 1;
18     }
19 }

计算 $C (n, k)$

当然我们知道 $C (n, k) = C (n, n - k)$

 1 const int maxn(10005), mod(100003);
 2 int tC[maxn * maxn]; //tC 表示 table of C
 3 
 4 inline int loc(int n, int k) // C(n, k)返回在一维数组中的位置
 5 {
 6     int locate = (1 + (n >> 1)) * (n >> 1); // (n >> 1) 等价于 (n / 2)
 7     locate += k;
 8     locate += (n & 1) ? (n + 1) >> 1 : 0; // (n & 1) 判断n是否为奇数
 9     return locate;
10 }
11 
12 inline int C(int n, int k)
13 {
14     if(k > n) return 0;
15     k = min(n - k, k);
16     return tC[loc(n, k)];
17 }
18 
19 void calcC(int n)
20 {
21     for(int i = 0; i < n; i++)
22     {
23         tC[loc(i, 0)] = 1;
24         for(int j = 1, e = i >> 1; j <= e; j++)
25             tC[loc(i, j)] = C(i - 1, j) + C(i - 1, j - 1);
26     }
27 }

同样，要得到 $C (n, k)$

显然，由于空间的限制，pascal打表的方式并不适合求取一些比较大的组合数。例如，我们现在要求取的组合数的 $n$

法二：逆元求取组合数

由定理可知：如果用C(n, r)表示n-元素集的r-组合的个数，有

C (n, r) = n ! r ! * ( n - r ) !

而我们的目标就是计算 $C (n, r) % m o d$

由数论的知识我们知道，模运算的加法，减法，乘法和四则运算类似，即：
模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

但对于除法却不成立，即(a / b) % p $\neq$

显然数学家们是不能忍受这种局面的，他们扔出了“逆元”来解决这个问题。那么什么是逆元？逆元和模运算中的除法又有说明关系呢？

首先给出数论中的解释：

对于正整数 $a$

什么意思呢？就是指，如果 $a x % p = 1$

现在我们来解决模运算的除法问题。假设

a b

同时存在另一个数 $x$

a x % p = m

由模运算对乘法成立，两边同时乘以 $b$

a % p = (m (b % p)) % p

如果 $a$

a = b m % p

等式两边再同时乘以 $x$

a x % p = m % p = x b m % p

因此可以得到：

b x % p = 1

哎，x是b的逆元呀（x 在模运算的乘法中等同于 $\frac{1}{b}$

由以上过程我们看到，求取 $(\frac{a}{b} % p)$

而求取一个数的逆元，有两种方法

拓展欧几里得算法

费马小定理

对于利用拓展欧几里得算法求逆元，很显然，如果 $b x % p = 1$

对于第二种方法，因为在算法竞赛中模数p总是质数，所以可以利用费马小定理：

b p - 1 % p = 1

可以直接得到 $b$

明白了以上几个关键点，那么求取组合数 $C (n, r)$

求取1到n的阶乘对 mod 取模的结果存入数组 JC[] 中；
求取 $C (n, r)$
然后计算 $J C [n] * x_{1} % m o d$
求取JC[n - r] 的逆元存入临时变量 $x_{3}$
则可以得到 $C (n, r) = x_{2} * x_{3} % m o d$

下面是方法二的代码片段：

typedef long long LL;
const LL maxn(1000005), mod(1e9 + 7);
LL Jc[maxn];

void calJc()    //求maxn以内的数的阶乘
{
    Jc[0] = Jc[1] = 1;
    for(LL i = 2; i < maxn; i++)
        Jc[i] = Jc[i - 1] * i % mod;
}
/*
//拓展欧几里得算法求逆元
void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)    //拓展欧几里得算法
{
    if(!b) x = 1, y = 0;
    else
    {
        exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= x * (a / b);
    }
}

LL niYuan(LL a, LL b)   //求a对b取模的逆元
{
    LL x, y;
    exgcd(a, b, x, y);
    return (x + b) % b;
}
*/

//费马小定理求逆元
LL pow(LL a, LL n, LL p)    //快速幂 a^n % p
{
    LL ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ans = ans * a % p;
        a = a * a % p;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

LL niYuan(LL a, LL b)   //费马小定理求逆元
{
    return pow(a, b - 2, b);
}

LL C(LL a, LL b)    //计算C(a, b)
{
    return Jc[a] * niYuan(Jc[b], mod) % mod
        * niYuan(Jc[a - b], mod) % mod;
}

以上即为逆元求取组合数的方法，无论使用拓展欧几里得还是费马小定理，一开始求取Jc数组是的复杂度是 $O (n)$

posted @ 2018-07-18 19:44 谨川阅读(226) 评论(0) 编辑收藏举报

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谨川

组合数取模（转载）

概述

法一：Pascal公式打表

法二：逆元求取组合数

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