常见的排序算法与时间复杂度

1、常见的排序算法

2、算法的时间复杂度

时间频度和时间复杂度

时间频度T(n)

一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

时间复杂度O(n)

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

在T(n)=4n²-2n+2中，就有f(n)=n²，使得T（n)/f(n)的极限值为4，那么O(f(n))，也就是时间复杂度为O(n²)

• 对于不是只有常数的时间复杂度忽略时间频度的系数、低次项常数

• 对于只有常数的时间复杂度，将常数看为1

常见的时间复杂度

常数阶 O(1)

?

1 2	int i = 1; i++;

　　

无论代码执行了多少行，只要没有循环等复杂的结构，时间复杂度都是O(1)

对数阶O(log2n)

?

1 2 3

while(i<n) {     i = i*2; }

　　

此处i并不是依次递增到n，而是每次都以倍数增长。假设循环了x次后i大于n。则2x = n，x=log2n

线性阶O(n)

?

1 2 3

for(int i = 0; i<n; i++) {     i++; }

　　

这其中，循环体中的代码会执行n+1次，时间复杂度为O(n)

线性对数阶O(nlog2n)

?

1 2 3 4 5 6

for(int i = 0; i<n; i++) {     j = 1;     while(j<n) {         j = j*2;     } }

　　

此处外部为一个循环，循环了n次。内部也是一个循环，但内部f循环的时间复杂度是log2n

所以总体的时间复杂度为线性对数阶O(nlog2n)

平方阶O(n2)

?

1 2 3 4 5

for(int i = 0; i<n; i++) {     for(int j = 0; j<n; j++) {         //循环体     } }

　　

立方阶O(n3)

?

1 2 3 4 5 6 7

for(int i = 0; i<n; i++) {     for(int j = 0; j<n; j++) {         for(int k = 0; k<n; k++) {             //循环体         }     } }

　　

可以看出平方阶、立方阶的复杂度主要是否循环嵌套了几层来决定的

3、排序算法的时间复杂度

排序算法	平均时间	最差时间	稳定性	空间复杂度	备注
冒泡排序	O(n2)	O(n2)	稳定	O(1)	n较小时好
交换排序	O(n2)	O(n2)	不稳定	O(1)	n较小时好
选择排序	O(n2)	O(n2)	不稳定	O(1)	n较小时好
插入排序	O(n2)	O(n2)	稳定	O(1)	大部分已有序时好
基数排序	O(n*k)	O(n*k)	稳定	O(n)	二维数组（桶）、一维数组（桶中首元素的位置）
希尔排序	O(nlogn)	O(ns)(1<s<2)	不稳定	O(1)	s是所选分组
快速排序	O(nlogn)	O(n2)	不稳定	O(logn)	n较大时好
归并排序	O(nlogn)	O(nlogn)	稳定	O(1)	n较大时好
堆排序	O(nlogn)	O(nlogn)	不稳定	O(1)	n较大时好