背包模板

背包模板，自己总结，做题可直接套用。

0-1背包

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

公式：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

伪代码：
for i=1..N
    ZeroOnePack(c[i],w[i]);

procedure ZeroOnePack(cost,weight)
    for v=V..cost    //注意要递减
        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}


完全背包

有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

公式：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

伪代码：
for i=1..N
    CompletePack(c[i],w[i]);

procedure CompletePack(cost,weight)
    for v=cost..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

伪代码2：
for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}


多重背包

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

公式：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

伪代码：
procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
    if cost*amount>=V
        CompletePack(cost,weight)
        return
    integer k=1
    while k<amount
        ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
        amount=amount-k
        k=k*2
    ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight)


混合三种背包问题

有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。

伪代码：
for i=1..N
    if 第i件物品属于01背包
        ZeroOnePack(c[i],w[i])
    else if 第i件物品属于完全背包
        CompletePack(c[i],w[i])
    else if 第i件物品属于多重背包
        MultiplePack(c[i],w[i],n[i])


二维费用的背包问题

公式：

f[i][v][u]=max{f[i-1][v][u],f[i-1][v-a[i]][u-b[i]]+w[i]}


分组的背包问题

公式：

f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i属于组k}

伪代码：
for 所有的组k
    for v=V..0
        for 所有的i属于组k
            f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}


背包问题问法的变化

输出方案

伪代码：

i=N
v=V
while(i>0)
    if(g[i][v]==0)
        print "未选第i项物品"
    else if(g[i][v]==1)
        print "选了第i项物品"
        v=v-c[i]


求方案总数

公式：

f[i][v]=sum{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]}


最优方案的总数

伪代码：

for i=1..N
   for v=0..V
        f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
        g[i][v]=0
        if(f[i][v]==f[i-1][v])
            inc(g[i][v],g[i-1][v])
        if(f[i][v]==f[i-1][v-c[i]]+w[i])
            inc(g[i][v],g[i-1][v-c[i]])


背包问题简单的深搜

伪代码：

procedure SearchPack(i,cur_v,cur_w)
    if(i>N)
        if(cur_w>best)
            best=cur_w
        return
    if(cur_v+v[i]<=V)
        SearchPack(i+1,cur_v+v[i],cur_w+w[i])
    SearchPack(i+1,cur_v,cur_w)

注：

参考资料：Tianyi Cui的背包九讲。

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