第十四关——贪心算法

09:19:40 沿途几多障碍，埋头撞向未来.——连诗雅《只要和你在一起》

“为了避免结束，你避免了所有开始”可是有的时候，结束未必是坏事，开始也一样。贪心一点，也没有什么不好.

概念

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，关键是贪心策略的选择，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以前的过程不会影响以后的状态，只与当前状态有关。

贪心算法顾名思义就是用计算机来模拟一个“贪心”的人做出决策的过程。

这个人每一步行动总是按某种指标选取最优的操作，他总是 只看眼前，并不考虑以后可能造成的影响 。

可想而知，并不是所有的时候贪心法都能获得最优解，所以一般使用贪心法的时候，都要确保自己能证明其正确性。

贪心选择

贪心选择是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。贪心选择是采用从顶向下、以迭代的方法做出相继选择，每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题。对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择的性质，我们必须证明每一步所作的贪心选择最终能得到问题的最优解。通常可以首先证明问题的一个整体最优解，是从贪心选择开始的，而且作了贪心选择后，原问题简化为一个规模更小的类似子问题。然后，用数学归纳法证明，通过每一步贪心选择，最终可得到问题的一个整体最优解。

最优子结构

当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。运用贪心策略在每一次转化时都取得了最优解。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征。贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响，而动态规划则不是。贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择，不能回退；动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择，有回退功能。动态规划主要运用于二维或三维问题，而贪心一般是一维问题

过程

建立数学模型来描述问题；
把求解的问题分成若干个子问题；
对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解；
把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。

背包问题

有一个背包，背包容量是M=150kg。有7个物品，物品不可以分割成任意大小。要求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。

物品 A B C D E F G

重量 35kg 30kg 6kg 50kg 40kg 10kg 25kg

价值 10$ 40$ 30$ 50$ 35$ 40$ 30$

分析：

目标函数：∑pi最大

约束条件是装入的物品总重量不超过背包容量：∑wi<=M(M=150）

⑴根据贪心的策略，每次挑选价值最大的物品装入背包，得到的结果是否最优？

⑵每次挑选所占重量最小的物品装入是否能得到最优解？

⑶每次选取单位重量价值最大的物品，成为解本题的策略。

值得注意的是，贪心算法并不是完全不可以使用，贪心策略一旦经过证明成立后，它就是一种高效的算法。

一般来说，贪心算法的证明围绕着：整个问题的最优解一定由在贪心策略中存在的子问题的最优解得来的。

宝物清单

假设现在有一批宝物，价值和重量如表 2-3 所示，毛驴运载能力 m=30，那么怎么装入最大价值的物品？

表 2-3 宝物清单
宝物 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
重量 w[i] 4 2 9 5 5 8 5 4 5 5
价值 v[i] 3 8 18 6 8 20 5 6 7 15

（1）因为贪心策略是每次选择性价比（价值/重量）高的宝物，可以按照性价比降序排序，排序后如表 2-4 所示。

表 2-4 排序后宝物清单

宝物 i 2 10 6 3 5 8 9 4 7 1
重量 w[i] 2 5 8 9 5 4 5 5 5 4
价值 v[i] 8 15 20 18 8 6 7 6 5 3
性价比 p[i] 4 3 2.5 2 1.6 1.5 1.4 1.2 1 0.75

（2）按照贪心策略，每次选择性价比高的宝物放入：

第 1 次选择宝物 2，剩余容量 30−2=28，目前装入最大价值为 8。

第 2 次选择宝物 10，剩余容量 28−5=23，目前装入最大价值为 8+15=23。

第 3 次选择宝物 6，剩余容量 23−8=15，目前装入最大价值为 23+20=43。

第 4 次选择宝物 3，剩余容量 15−9=6，目前装入最大价值为 43+18=61。

第 5 次选择宝物 5，剩余容量 6−5=1，目前装入最大价值为 61+8=69。

第 6 次选择宝物 8，发现上次处理完时剩余容量为 1，而 8 号宝物重量为 4，无法全部放入，那么可以采用部分装入的形式，装入 1 个重量单位，因为 8 号宝物的单位重量价值为1.5，因此放入价值 1×1.5=1.5，你也可以认为装入了 8 号宝物的 1/4，目前装入最大价值为69+1.5=70.5，剩余容量为 0。

（3）构造最优解

把这些放入的宝物序号组合在一起，就得到了最优解（2，10，6，3，5，8），其中最后一个宝物为部分装入（装了 8 号财宝的 1/4），能够装入宝物的最大价值为 70.5。