进阶指南---基本算法【阅读笔记】
成对变换
对于非负整数\(n\):
当\(n\)为偶数时,\(n xor 1\)等于\(n+1\)
当\(n\)为奇数时,\(n xor 1\)等于\(n - 1\)
“0 和 1”, “2 和 3”, “4 和5”......关于\(xor 1\)运算构成“成对变换”
这一性质常用于图论邻接表中边集的存储。在具有无向边(双向边)的图中把一对正反方向的边分别存储在邻接表数组的第\(n\)和\(n+1\)位置(\(n\)是偶数)
通过\(xor 1\)运算可以得到当前边和反向边的存储位置。
\(lowbit\)
\(lowbit(n)\)定义为非负整数\(n\)在二进制表示下“最低位的1及其后边所有的0”构成的数值。
\(lowbit(n) = n & (~n + 1) = n & (-n)\)
因为假设\(n\)的第\(k\)位是\(1\), 第\(0~k-1\)位都是\(0\)
\(~n\)的第\(k\)为是\(0\), 第\(0~k-1\)都是\(1\)
那么\(~n + 1\)的第\(k\)是\(1\), 第\(0~k-1\)都是\(0\)
其实根据补码的一种求法也可以知道,\(~n +1\)的高位到第\(k+1\)位都和\(n\)相反,\(0~k\)位不变。
进行\(&\)运算后得到的就是\(lowbit(n)\)
\(lowbit\)加Hash可以找出整数二进制表示下所有是1的位,复杂度与1的个数同级。只需要每次做\(n = n - lowbit(n)\)的操作
用一个Hash数组来存储2的幂次,\(H[2^{k} mod 37] = k\), \(\forall k \in [0,35], 2^{k} mod 37互不相等,且恰好取遍1~36\)
二分
右移运算\( >> \)是向下取整,而整数除法是向零取整,对于二分值域包含负数时后者不能正常工作。
实数域上的二分
确定好精度\(eps\)以\(l+eps<r\)为循环条件。
保留\(k\)位小数的题目中,取\(eps = 10 ^ {-(k+2)}\)
或者采用循环固定次数的二分方法。