CH5E09 能量相连【区间DP】
5E09 能量项链 0x5E「动态规划」练习
描述
在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。
需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。
例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作,(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为:
(4⊕1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3)=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
输入格式
输入的第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i<N< span>时,第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出格式
输出只有一行,是一个正整数E(E≤2.1*109),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
样例输入
4 2 3 5 10
样例输出
710
来源
CCF NOIP2006
题意:
有n个珠子串成一条项链,每个项链有两个数值,头价值和尾价值。前一个珠子的尾价值等于后一个珠子的头价值。将他们合并成一个珠子的时候可以得到第i个珠子的头价值*i+1个珠子的头价值*i+1个珠子的尾价值。合并之后的新珠子的头价值等于i的头价值,尾价值等于i+1的尾价值。问如何合并,可以使得最后得到的总价值最大。
思路:
一个比较简单的区间dp。虽然是环形的,但是我们可以从1和n处断开,然后复制一遍放在末尾。
对于已经合并的区间(i,j),头价值为ball[i], 尾价值为ball[j + 1]。
对于一个区间(i,j),他的最大价值应该是找到某一个中间点k,(i,k)(k+1,j)均已合并,那么合并(i,k)(k+1,j)可以得到的价值为ball[i] * ball[k+1] * ball[j+1]
枚举区间长度和起始点,对每个区间枚举中间点。
1 //#include <bits/stdc++.h> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<algorithm> 5 #include<stdio.h> 6 #include<cstring> 7 #include<vector> 8 #include<map> 9 #include<set> 10 11 #define inf 0x3f3f3f3f 12 using namespace std; 13 typedef long long LL; 14 15 int n; 16 const int maxn = 110; 17 int ball[maxn * 2]; 18 int dp[maxn * 2][maxn * 2]; 19 20 int main(){ 21 22 scanf("%d", &n); 23 for(int i = 1; i <= n; i++){ 24 scanf("%d", &ball[i]); 25 } 26 for(int i = n + 1; i <= 2 * n; i++){ 27 ball[i] = ball[i - n]; 28 } 29 30 memset(dp, 0, sizeof(dp)); 31 for(int len = 2; len <= n; len++){ 32 for(int i = 1; i + len - 1 <= 2 * n; i++){ 33 int j = i + len - 1; 34 for(int k = i; k < j; k++){ 35 dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + ball[i] * ball[k + 1] * ball[j + 1]); 36 } 37 } 38 } 39 40 int ans = 0; 41 for(int i = 1; i <= n; i++){ 42 ans = max(ans, dp[i][i + n - 1]); 43 } 44 printf("%d\n", ans); 45 return 0; 46 }