树链剖分

代码转自：https://www.cnblogs.com/George1994/p/7821357.html

首先需要知道树链剖分有什么用

有的类似于线段树的题目 是对树上的某点或点与点之间的路径进行修改，然后查询某点或点与点之间路径的一些性质

像这样的题目虽然类似线段树 但是却无法简单就用线段树来做

因为线段树只能存储节点的一些性质 对于路径就无能为力了

因此我们需要将树 和路径 分开，使得每一条链和线段树的区间对应 就是树链剖分

当然树链剖分也不仅限于与线段树结合

 

树链剖分很很多种方法，普遍用到的是轻重边剖分

我们首先将树中的边分为两部分，轻边和重边，记size(U)为以U为根的子树的节点的个数，令V为U的儿子中size最大的一个（如有多个最大，只取一个），则我们说边（U，V）为重边，其余的边为轻边（如下图所示红色为重边，蓝色为轻边）。

我们将一棵树的所有边按上述方法分成轻边和重边后，我们可以得到以下几个性质：

1：若（U,V）为轻边，则size(V)<=size(U)/2。

这是显然的。

2：从根到某一点的路径上轻边的个数不会超过O（logN），（N为节点总数）。

这也是很简单，因为假设从跟root到v的路径有k条轻边，它们是 root->...->v1->...->v2->......->vk->...->v，我们设size(v)=num，显然num>=1,则由性质1，我们有size(Vk)>=2,size(Vk-1)>=4......size(v1)>=2^k，显然有2^k<=N,所以k<=log2(N)。

 

如果我们把一条链中的连续重边连起来，成为重链，则一条链就变成了轻边与重链交替分段的链，且段数是log(N)级别的，则我们可以将重链放在线段树中维护，轻边可放可不放，为了方便一般还是放，但是速度就会打一点折扣了。

定义这样一些值：

const int MAXN = (100000 << 2) + 10;
​
//Heavy-light Decomposition STARTS FORM HERE
int siz[MAXN];//number of son
int top[MAXN];//top of the heavy link
int son[MAXN];//heavy son of the node
int dep[MAXN];//depth of the node
int faz[MAXN];//father of the node
int tid[MAXN];//ID -> DFSID
int rnk[MAXN];//DFSID -> ID

算法大致需要进行两次的DFS，第一次DFS可以得到当前节点的父亲结点（faz数组）、当前结点的深度值（dep数组）、当前结点的子结点数量（size数组）、当前结点的重结点（son数组）

 
void dfs1(int u, int father, int depth) {
    /*
     * u: 当前结点
     * father: 父亲结点
     * depth: 深度
     */
    // 更新dep、faz、siz数组
    dep[u] = depth;
    faz[u] = father;
    siz[u] = 1;
​
    // 遍历所有和当前结点连接的结点
    for (int i = head[u]; i; i = edg[i].next) {
        int v = edg[i].to;
        // 如果连接的结点是当前结点的父亲结点，则不处理
        if (v != faz[u]) {
            dfs1(v, u, depth + 1);
            // 收敛的时候将当前结点的siz加上子结点的siz
            siz[u] += siz[v];
            // 如果没有设置过重结点son或者子结点v的siz大于之前记录的重结点son，则进行更新
            if (son[u] == -1 || siz[v] > siz[son[u]]) {
                son[u] = v;
            }
        }
    }
}

第二次DFS的时候则可以将各个重结点连接成重链，轻节点连接成轻链，并且将重链（其实就是一段区间）用数据结构（一般是树状数组或线段树）来进行维护，并且为每个节点进行编号，其实就是DFS在执行时的顺序（tid数组），以及当前节点所在链的起点（top数组），还有当前节点在树中的位置（rank数组）。

void dfs2(int u, int t) {
    /**
     * u：当前结点
     * t：起始的重结点
     */
    top[u] = t;  // 设置当前结点的起点为t
    tid[u] = cnt;  // 设置当前结点的dfs执行序号
    rnk[cnt] = u;  // 设置dfs序号对应成当前结点
    cnt++;
​
    // 如果当前结点没有处在重链上，则不处理
    if (son[u] == -1) {
        return;
    }
    // 将这条重链上的所有的结点都设置成起始的重结点
    dfs2(son[u], t);
    // 遍历所有和当前结点连接的结点
    for (int i = head[u]; i; i = edg[i].next) {
        int v = edg[i].to;
        // 如果连接结点不是当前结点的重子结点并且也不是u的父亲结点，则将其的top设置成自己，进一步递归
        if (v != son[u] && v != faz[u]){
            dfs2(v, v);
        }
    }
}

而修改和查询操作原理是类似的，以查询操作为例，其实就是个LCA，不过这里使用了top来进行加速，因为top可以直接跳转到该重链的起始结点，轻链没有起始结点之说，他们的top就是自己。需要注意的是，每次循环只能跳一次，并且让结点深的那个来跳到top的位置，避免两个一起跳从而插肩而过。

INT64 query_path(int x, int y) {
    /**
     * x：结点x
     * y：结点y
     * 查询结点x到结点y的路径和
     */
    INT64 ans = 0;
    int fx = top[x], fy = top[y];
    // 直到x和y两个结点所在链的起始结点相等才表明找到了LCA
    while (fx != fy) {
        if (dep[fx] >= dep[fy]) {
            // 已经计算了从x到其链中起始结点的路径和
            ans += query(1, tid[fx], tid[x]);
            // 将x设置成起始结点的父亲结点，走轻边，继续循环
            x = faz[fx];
        } else {
            ans += query(1, tid[fy], tid[y]);
            y = faz[fy];
        }
        fx = top[x], fy = top[y];
    }
​
    // 即便找到了LCA，但是前面也只是分别计算了从一开始到最终停止的位置和路径和
    // 如果两个结点不一样，表明仍然需要计算两个结点到LCA的路径和
    if (x != y) {
        if (tid[x] < tid[y]) {
            ans += query(1, tid[x], tid[y]);
        } else {
            ans += query(1, tid[y], tid[x]);
        }
    } else ans += query(1, tid[x], tid[y]);
    return ans;
}
​
void update_path(int x, int y, int z) {
    /**
     * x：结点x
     * y：结点y
     * z：需要加上的值
     * 更新结点x到结点y的值
     */
    int fx = top[x], fy = top[y];
    while(fx != fy) {
        if (dep[fx] > dep[fy]) {
            update(1, tid[fx],tid[x], z);
            x = faz[fx];
        } else {
            update(1, tid[fy], tid[y], z);
            y = faz[fy];
        }
        fx = top[x], fy = top[y];
    }
    if (x != y)
        if (tid[x] < tid[y]) update(1, tid[x], tid[y], z);
        else update(1, tid[y], tid[x], z);
    else update(1, tid[x], tid[y], z);
}