洛谷P2279 消防局的设立【树形dp】
题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2279
题意：一棵树。在节点处建消防站，可以覆盖与他距离在2之内的节点。问最少要建多少个消防站，可以覆盖所有的节点。
思路：有一种贪心的思路，看大部分题解都是这样。
如果要覆盖当前节点（自己不建），那么可能是父亲，兄弟，祖父建了。
但是我们发现，在祖父建覆盖的范围比父亲兄弟要更广一些。所以就贪心的取深度最深的节点，在他的祖父处建一个。
因为想练dp所以没写贪心的。
看结构感觉是树形dp。$dp[i]$表示以$i$为根的子树的情况，想再开一维表示$i$有没有建。后来发现状态好像并不够。
因为只考虑子树的话，当前节点$i$不被覆盖也没关系，他可以被他的父亲或祖先覆盖。
所以大情况分成两种，$i$被覆盖和$i$没被覆盖。
其中$i$被覆盖可以是因为$i$自己建了，也可以是因为有一个儿子建了或者是有一个孙子建了。所以这里有三种状态。
$i$没被覆盖还可以分成只有$i$没被覆盖和$i$和儿子都没有被覆盖。这里又是两种状态。
所以总共是5中状态：
$dp[i][0]，在i处建$
$dp[i][1], i处不建但i至少有一个儿子建了$
$dp[i][2]，i和儿子都不建但至少有一个孙子建了$
$dp[i][3]，自己还没被覆盖，儿子已经被覆盖$
$dp[i][4], 自己和儿子都还没被覆盖$
转移方程：
$dp[i][0] = 1 + \sum min(dp[son][0...4])$每一个儿子的任何一种状态都可以。所以每个儿子都取5种状态的最小的。
$dp[i][1] = min(dp[son1][0] + \sum_(son != son1) min(dp[son][0...3]))$，这里一个巧妙的处理方法是先将每一个儿子的$min(dp[son][0...3])$加上，在找到最小的$dp[son][0]-min(dp[son][0...3])$最后加上。
$dp[i][2] = min(dp[son1][1] + \sum_(son!=son1)(min(dp[son][0...2]))$，此时如果son不在子树被覆盖的话，别的节点也reach不到了。处理方法和上面也一样。
$dp[i][3] = \sum min(dp[son][0...2])$
$dp[i][4] = \sum min(dp[son][0...3]$
1 #include<cstdio> 2 #include<cstdlib> 3 #include<map> 4 #include<set> 5 #include<cstring> 6 #include<algorithm> 7 #include<vector> 8 #include<cmath> 9 #include<stack> 10 #include<queue> 11 #include<iostream> 12 13 #define inf 0x3f3f3f3f 14 using namespace std; 15 typedef long long LL; 16 typedef pair<int, int> pr; 17 18 int n; 19 const int maxn = 1005; 20 int fa[maxn]; 21 vector<int>son[maxn]; 22 int dp[maxn][6]; 23 24 void dfs(int rt) 25 { 26 if(son[rt].size() == 0){ 27 dp[rt][0] = 1; 28 dp[rt][1] = dp[rt][2] = inf; 29 dp[rt][3] = dp[rt][4] = 0; 30 return; 31 } 32 dp[rt][0] = 1; 33 int maxson = inf, maxgs = inf; 34 for(int i = 0; i < son[rt].size(); i++){ 35 dfs(son[rt][i]); 36 int tmp1 = inf, tmp2 = inf, tmp3 = inf; 37 for(int j = 0; j < 5; j++){ 38 tmp1 = min(tmp1, dp[son[rt][i]][j]); 39 if(j < 4)tmp2 = min(tmp2, dp[son[rt][i]][j]); 40 if(j < 3)tmp3 = min(tmp3, dp[son[rt][i]][j]); 41 } 42 dp[rt][0] += tmp1; 43 dp[rt][1] += tmp2; 44 maxson = min(maxson, dp[son[rt][i]][0] - tmp2); 45 maxgs = min(maxgs, dp[son[rt][i]][1] - tmp3); 46 dp[rt][2] += tmp3; 47 dp[rt][3] += tmp3; 48 dp[rt][4] += tmp2; 49 } 50 dp[rt][1] += maxson; 51 dp[rt][2] += maxgs; 52 53 } 54 55 int main() 56 { 57 scanf("%d", &n); 58 for(int i = 2; i <= n; i++){ 59 scanf("%d", &fa[i]); 60 son[fa[i]].push_back(i); 61 } 62 dfs(1); 63 printf("%d\n", min(dp[1][0], min(dp[1][2], dp[1][1]))); 64 65 }
