Tarjan算法【阅读笔记】

应用：线性时间内求出无向图的割点与桥，双连通分量。有向图的强连通分量，必经点和必经边。

主要是求两个东西，dfn和low

时间戳dfn：就是dfs序，也就是每个节点在dfs遍历的过程中第一次被访问的时间顺序。

追溯值low：$low[x]$定义为$min(dfn[subtree(x)中的节点], dfn[通过1条不再搜索树上的边能到达subtree(x)的节点]）$，其中$subtree(x)$是搜索树中以$x$为根的节点。

其实这个值表示的就是这个点所在子树的最先被访问到的节点，作为这个子树的根。

搜索树：在无向连通图中任选一个节点出发进行深度搜索遍历，每个点只访问一次，所有发生递归的边$(x,y)$构成一棵树，称为无向连通图的搜索树。

 

low计算方法：

先令$low[x] = dfn[x]$， 考虑从$x$出发的每条边$(x,y)$

若在搜索树上$x$是$y$的父节点，令$low[x]=min(low[x], low[y])$

若无向边$(x,y)$不是搜索树上的边，则令$low[x] = min(low[x], dfn[y])$

 

割边判定法则：

无向边$(x,y)$是桥，当且仅当搜索树上存在$x$的一个子节点$y$，满足：$dfn[x] < low[y]$

这说明从$subtree(y)$出发，在不经过$(x,y)$的前提下，不管走哪条边都无法到达$x$或比$x$更早访问的节点。若把$(x,y)$删除，$subtree(y)$就形成了一个封闭的环境。

桥一定是搜索树中的边，并且一个简单环中的边一定不是桥。

void tarjan(int x, int in_edge)
{
    dfn[x] = low[x] = ++num;
    int flag = 0;
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        int y = ver[i];
        if(!dfn[y]){
            tarjan(y);
            low[x] = min(low[x], low[y]);
            if(low[y] > dfn[x]){
                bridge[i] = bridge[i ^ 1] = true;
            }
        }
        else if(i != (in_edge ^ 1)) 
            low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    tot = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if(x == y)continue;
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(!dfn[i]){
            tarjan(i, 0);
        }
    }
    for(int i = 2; i < tot; i += 2){
        if(bridge[i])
            printf("%d %d\n", ver[i ^ 1], ver[i]);
    }
}

 

割点判定法则：

若$x$不是搜索树的根节点，则$x$是割点当且仅当搜索树上存在$x$的一个子节点$y$，满足：$dfn[x]\leq low[y]$

特别地，若$x$是搜索树地根节点，则$x$是割点当且仅当搜索树上存在至少两个子节点$y_1,y_2$满足上述条件。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<map>
#include<set>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<stack>
#include<queue>
#include<iostream>

#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> pr;

const int SIZE = 100010;
int head[SIZE], ver[SIZE * 2], Next[SIZE * 2];
int dfn[SIZE], low[SIZE], n, m, tot, num;
bool bridge[SIZE * 2];

void add(int x, int y)
{
    ver[++tot] = y, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
}

void tarjan(int x)
{
    dfn[x] = low[x] = ++num;
    int flag = 0;
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        int y = ver[i];
        if(!dfn[y]){
            tarjan(y);
            low[x] = min(low[x], low[y]);
            if(low[y] >= dfn[x]){
                flag++;
                if(x != root || flag > 1)cut[x] = true;
            }
        }
        else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    tot = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        if(x == y)continue;
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(!dfn[i]){
            root = i;
            tarjan(i);
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(cut[i])printf("%d", i);
    }
    puts("are cut-vertexes");
}

 

双连通分量

若一张无向连通图不存在割点，则称它为“点双连通图”。若一张无向连通图不存在桥，则称他为“边双连通图”。

无向图的极大点双连通子图被称为“点双连通分量”，简记为v-DCC。无向连通图的极大边双连通子图被称为“边双连通分量”，简记为e-DCC。

定理1一张无向连通图是点双连通图，当且仅当满足下列两个条件之一：

1.图的顶点数不超过2.

2.图中任意两点都同时包含在至少一个简单环中。

定理2一张无向连通图是边双连通图，当且仅当任意一条边都包含在至少一个简单环中。

边双连通分量求法

求出无向图中所有的桥，删除桥后，每个连通块就是一个边双连通分量。

用Tarjan标记所有的桥边，然后对整个无向图执行一次深度优先遍历（不访问桥边），划分出每个连通块。

int c[SIZE], dcc;

void dfs(int x){
    c[x] = dcc;
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        int y = ver[i];
        if(c[y] || bridge[i])continue;
        dfs(y);
    }
}

//main()
for(int i = 1; i <= n; i++){
    if(!c[i]){
        ++dcc;
        dfs(i);
    }
}
printf("There are %d e-DCCs.\n", dcc);
for(int i = 1; i <= n; i++){
    printf("%d belongs to DCC %d.\n", i, c[i]);
}

e-DCC的缩点

把e-DCC收缩为一个节点，构成一个新的树，存储在另一个邻接表中。

int hc[SIZE], vc[SIZE * 2], nc[SIZE * 2], tc;
void add_c(int x, int y){
    vc[++tc] = y;
    nc[tc] = hc[x];
    hc[x] = tc;
}

//main()
tc = 1;
for(int i = 2; i <= tot; i++){
    int x = ver[i ^ 1];
    y = ver[i];
    if(c[x] == c[y])continue;
    add_c(c[x], c[y]);
}
printf("缩点之后的森林， 点数%d, 边数%d(可能有重边)\n", dcc, tc / 2);
for(int i = 2; i < tc; i++){
    printf("%d %d\n", vc[i ^ 1], vc[i]);
}

点双连通分量的求法

桥不属于任何e-DCC，割点可能属于多个v-DCC

在Tarjan算法过程中维护一个栈，按照如下方法维护栈中的元素：

1.当一个节点第一次被访问时，该节点入栈。

2.当割点判定方法则中的条件$dfn[x]\leq low[y]$成立时，无论$x$是否为根，都要：

　　（1）从栈顶不断弹出节点，直至节点$y$被弹出

　　（2）刚才弹出的所有节点与节点$x$一起构成一个v-DCC

void tarjan(int x){
    dfn[x] = low[x] = ++num;
    stack[++top] = x;
    iff(x == root && head[x] == 0){
        dcc[++cnt].push_back(x);
        return;
    }
    int flag = 0;
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        int y = ver[i];
        if(!dfn[y]){
            tarjan(y);
            low[x] = min(low[x], low[y]);
            if(low[y] >= dfn[x]){
                flag++;
                if(x != root || flag > 1)cut[x] = true;
                cnt++;
                int z;
                do{
                    z = stack[top--];
                    dcc[cnt].push_back(z);

                }while(z != y);
                dcc[cnt].push_back(x);
            }
        }
        else low[x] = min(low[x], dfn[y]);
    }
}

//main()
for(int i = 1; i <= cnt; i++){
    printf("e-DCC #%d:", i);
    for(int j = 0; j < dcc[i].size(); j++){
        printf(" %d", dcc[i][j]);
    }
    puts("");
}

v-DCC的缩点

 设图中共有$p$个割点和$t$个v-DCC，新图将包含$p+t$个节点。

//main
num = cnt;
for(int i = 1; i <= n; i++){
    if(cnt[i])new_id[i] = ++num;
}
tc = 1;
for(int i = 1; i <= cnt; i++){
    for(int j = 0; j < dcc[i].size(); j++){
        int x = dcc[i][j];
        if(cut[x]){
            add_c(i, new_id[x]);
            add_c(new_id[x], i);
        }
        else c[x] = i;
    }
}
printf("缩点之后的森林， 点数%d, 边数%d\n", num, tc / 2);
printf("编号1~%d的为原图的v-DCC， 编号>%d的为原图割点\n", cnt, cnt);
for(int i = 2; i < tc; i += 2){
    printf("%d %d\n", vc[i ^ 1], vc[i]);
}

 

有向图的强连通分量

一张有向图，若对于图中任意两个节点$x,y$，既存在$x$到$y$的路径，也存在$y$到$x$的路径，则称该有向图是强连通图。

有向图的极大强连通子图被称为强连通分量，简记为SCC。

一个环一定是强连通图，Tarjan算法的基本思路就是对每个点，尽量找到与它能构成环的所有节点。

Tarjan在深度优先遍历的同时维护了一个栈，当访问到节点$x$时，栈中需要保存一下两类节点：

1.搜索树上$x$的祖先节点，记为$anc(x)$

2.已经访问过，并且存在一条路径到达$anc(x)$的节点

实际上栈中的节点就是能与从$x$出发的“后向边”和“横叉边”形成环的节点。

追溯值：

定义为满足一下条件的节点的最小时间戳：

1.该点在栈中。

2.存在一条存subtree(x)出发的有向边，以该点为终点。

计算步骤：

1.当节点$x$第一次被访问时，把$x$入栈，初始化$low[x]=dfn[x]$

2.扫描从$x$出发的每条边$(x,y)$

　　(1)若$y$没被访问过，则说明$(x,y)$是树枝边，递归访问$y$,从$y$回溯后，令$low[x] = min(low[x], low[y])$

　　(2)若$y$被访问过且$y$在栈中，令$low[x] = min(low[x], dfn[y])$

3.从$x$回溯之前，判断是否有$low[x] = dfn[x]$。若成立，则不断从栈中弹出节点直至$x$出栈。

强连通分量判定法则

追溯值计算过程中，若从$x$回溯前，有$low[x] = dfn[x]$成立，则栈中从$x$到栈顶的所有节点构成一个强连通分量。

如果$low[x]=dfn[x]$，说明$subtree(x)$中的节点不能与栈中其他节点一起构成环。另外，因为横叉边的终点时间戳必定小于起点时间戳，所以$subtree(x)$中的节点也不可能直接到达尚未访问的节点（时间戳更大）

const int N = 100010, M = 1000010;
int ver[M], Next[M], head[N], dfn[N], low[N];
int stack[N], ins[N], c[N];
vector<int>scc[N];
int n, m, tot, num, top, cnt;

void add(int x, int y){
    ver[++tot] = y, Next[tot] = head[x], head[x] = tot;
}

void tarjan(int x){
    dfn[x] = low[x] = ++num;
    stack[++top] = x, ins[x] - 1;
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        if(!dfn[ver[i]]){
            tarjan(ver[i]);
            low[x] = min(low[x], low[ver[i]]);
        }else if(ins[ver[i]]){
            low[x] = min(low[x], dfn[ver[i]]);
        }
    }
    if(dfn[x] == low[x]){
        cnt++;
        int y;
        do{
            y = stack[top--], ins[y] = 0;
            c[y] = cnt, scc[cnt].push_back(y);
        }while(x != y);
    }
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y);
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(!dfn[i])tarjan(i);
    }
}

缩点

void add_c(int x, int y){
    vc[++tc] = y, nc[tc] = hc[x], hc[x] = tc;
}

//main
for(int x = 1; x <= n; x++){
    for(int i = head[x]; i; i = Next[i]){
        int y = ver[i];
        if(c[x] == c[y])continue;
        add_c(c[x], c[y]);
    }
}

 

 

李煜东的《图连通性若干扩展问题探讨》，有点难。