洛谷P1006 传纸条【dp】

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1006

题意：

给定一个m*n的矩阵，从（1，1）向下或向右走到（m,n)之后向上或向左走回（1,1)，要求路径中每个点都不重复。

问使得权值和最大的路径的权值是多少。

思路：

这道题要学会把问题转化成，找两条从(1,1)到(m, n)互不相交的路径。因为过去和回来其实是相对的。

如果用一个四维dp，dp[i][j][k][l]表示从(1,1)到(i,j)的路径和从(1,1)到(k,l)的路径，他们互不相交的最大权值和。

分别枚举i,j,k,l, dp[i][j][k][l] = max(dp[i][j-1][k-1][l], dp[i-1][j][k-1][l], dp[i-1][j][k][l-1], dp[i][j-1][k][l-1])+g[i][j]+g[k][l]

当(i,j)==(k,l)时，这个点的权值只能算一次。

我们可以发现他走的方向规定之后，代表步数是一定的。因此我们可以缩减一维。

dp[step][i][j]就表示用step步，走到第i行和第j行时的两条互不相交路径的最大权值和。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<map>
#include<set>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath> 
#include<stack>
#include<queue>
#include<iostream>

#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<string, string> pr;

int n, m;
const int maxn = 55;
int heart[maxn][maxn];
int dp[maxn * 2][maxn][maxn];

int main()
{
    scanf("%d%d", &m, &n);
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        for(int j = 1; j <= n; j++){
            scanf("%d", &heart[i][j]);
        }
    }
    
    for(int step = 1; step <= n + m - 1; step++){
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                if(step - i + 1 < 1 || step - j + 1 < 1)continue;
                dp[step][i][j] = max(max(dp[step - 1][i][j], dp[step - 1][i - 1][j]), max(dp[step - 1][i][j - 1], dp[step - 1][i - 1][j - 1])) + heart[i][step - i + 1] + heart[j][step - j + 1];
                if(i == j){
                    dp[step][i][j] -= heart[i][step - i + 1];
                }
            }
        }
    }
    
    printf("%d\n", dp[n + m - 1][m][m]);
    
    return 0; 
}