[JOISC 2021 Day4] 最悪の記者 4 题解

独立想出来的题！（虽然想漏了一些细节）

线段树合并优化 DP

Statement

[JOISC 2021 Day4] 最悪の記者 4 (Worst Reporter 4)

Solution

容易想到连边 \(i\to a_i\) ，那么形成了一个基环内向树森林

考虑处理每一个基环树，容易发现环上的点最后的值必然相同，所以可以看作是一个点

所以现在就是一颗颗树，容易想到设 \(f[u][i]\) 表示点 \(u\) 取值 \(i\) ，且让子树内都满足要求的最小代价，暴力转移有

\[f[u][i]=[i\neq h_u]c_u+\sum \min_{i\le j\le m}f[v][j] \]

\(m\) 表示 \(h[i]\) 离散化后最大值，因为注意到有意义的取值只有 \(O(n)\) 种。

按照这个式子，可以写出暴力 \(O(n^2)\) 的做法。具体就是倒序枚举 \(i\) 进行转移，复杂度的话，每一个 \(f[v][j]\) 只会用于一次 \(f[u]\) 的贡献，所以看似是 \(O(n^3)\) ，实际上是 \(O(n^2)\)

看到那个 \(\min\) 很不爽，于是我们干脆直接设 \(mn[i][j]=\min_{j\le k\le m}f[i][j]\) ，那么

\[mn[u][i]=\min([i\neq h_u]c_u+\sum mn[v][i],mn[u][i+1]) \]

发现前面这个 \([i\neq h_u]c_u\) 的贡献实际上是在区间除了一个单点，其他整体增加，容易转成 \(-[i=h_u]c_u\) 这样的贡献方式

可以想到 \(mn[u]\) 是一个单调递增的，而且由数段相同的值组成，可以把 \(mn[u]\) 看成数个颜色段 \((l,r,v)\) 表示 \(mn[l\dots r]=v\) ，那么，每次转移的时候就是儿子的颜色段合并的过程。

容易发现如果没有那个 \(-[i=h_u]c_u\) 的贡献的话，是不用和 \(mn[u][i+1]\) 取 \(\min\) 的，因为我每个儿子都是单调的，相加起来当然是单调的

所以这个合并的过程可以想到使用线段树合并来做，复杂度的保证可以理解为颜色段均摊的复杂度的证法（我毛估估的）

考虑那个 \(-[i=h_u]c_u\) 的贡献，发现相当于把一些颜色段合并成一个大颜色段的过程，每次最多增加一个颜色段，可以直接在线段树上乱搞一个区间取 min 来做

这样好像就做完了，哈哈，复杂度 \(O(n\log n)\)

看了一眼题解，发现题解做法是直接对 \(f\) 线段树合并，很有道理。

Code

咕咕咕，月考完了再写