二项式反演口胡

由于 wtcl ，所以讲得很基础

反演是什么

假设我们已经知道了 $g(n)=\sum_{i=0}^n a_{ni}f(j)$ 中的 $a$ 这个系数数组

我们想要推求的是某一个 $b$ 数组，满足 $f(n)=\sum_{i=0}^nb_{ni}g(i)$

我们考虑 $a,b$ 两个数组有什么关系，假装我们现在已经的确找到了这样一个 $b$

那么：

$$\begin{align} f(n)&=\sum_{i=0}^n b_{ni}\sum_{j=0}^ia_{ij}f(j)\\ &=\sum_{i=0}^n f(i)\sum_{j=i}^nb_{nj}a_{ji} \end{align}$$

所以我们只要求 $\sum_{j=i}^nb_{nj}a_{ji}=[i=n]$ 即可，这里可以把 $n,i$ 看成是一个常量

也就是说，只要我们找到了这种 $b$ ，就完成了我们的二项式反演，可以从更直观的角度理解上面那个式子的变化

（上图是白嫖的老师课件里老师白嫖的不知道哪位大佬的图）

二项式反演

基础式

$$g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom nif(i) \Leftrightarrow f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni g(i)$$

我们现在的任务是证明 $\sum_{i=j}^n(-1)^{i+j}\binom ni\binom ij=[j=n]$

首先得知道这个东西：

$$\binom ni\binom ij =\binom nj\binom{n-j}{i-j}$$

一种方式是直接按照组合数定义展开证明，

另一种是组合数的意义：左式是 $n$ 选 $i$ ，$i$ 选 $j$ ，那我不妨直接 $n$ 选 $j$ ，然后从剩下的 $n-j$ 个数中不足没有选的 $i-j$ 个

那么：

$$\begin{align} &\sum_{i=j}^n(-1)^{i+j}\binom ni\binom ij\\ =&\sum_{i=j}^n(-1)^{i+j}\binom nj\binom {n-j}{i-j}\\ =&(-1)^j\binom nj\sum_{i=j}^n (-1)^i \binom{n-j}{i-j}\\ =&(-1)^j\binom nj\sum_{i=0}^{n-j}(-1)^{i+j}\binom{n-j}{i}\\ =&(-1)^{2j}\binom nj\sum_{i=0}^{n-j}(-1)^i\binom{n-j}{i}\\ \end{align}$$

这个时候我们直接二项式定理，$(x+y)^n\sum_{i=0}^n \binom ni x^i y^{n-i}$ 那么

$$(-1)^{2j}\binom nj\sum_{i=0}^{n-j}(-1)^i\binom{n-j}{i}=(-1)^{2j}\binom nj\ 0^{n-j}$$

再这里我们令 $0^0=1$ ，那么原式显然当且仅当 $j=n$ 时为 $1$

由于很难找到这种含 $(-1)^i$ 的容斥系数，所以这个基本式作用不大

变式1

$$g(n)=\sum_{i=0}^n\binom ni f(i)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom ni g(i)$$

很容易证明它，我们的基本式叫做：$g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom nif(i) \Leftrightarrow f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom ni g(i)$

那么，我们令 $h(x)=(-1)^xf(x)$ ，那么，利用基本式，

$$g(n)=\sum_{i=0}^n\binom ni h(x)\Rightarrow \frac {h(n)}{(-1)^n}=\sum_{i=0}(-1)^i\binom ni g(i)\Rightarrow f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom ni g(i)$$

这里给出一个小应用：

题意：错排问题 ，有多少种排列方式，使得 $p_i \neq 𝑖$

解题：虽然我们可以直接套错排公式，这里还是介绍一下二项式反演怎么做

定义 $𝑓(i)$ 表示恰好有 $𝑖$ 个错开，$𝑔(i)$ 表示至多有 $𝑖$ 个元素错开

那么有： $𝑔(i) = 𝑖!$ , $𝑔(i) = \sum_{j=0}(-1)^{i-j}\binom ij f(j)$

反演一下：$f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom ni g(i)$

变式2

$$g(n)=\sum_{i=n}^m\binom in f(i)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}\binom in g(i)$$

证明略去