[FJOI2014]最短路径树问题 题解
Preface
，，，
这道题搞了一个晚上
最开始对题面是有疑惑的，以为第二问是不限制节点个数的
瞎搞过后看题解，发现原来理解错了、、、
看了题解代码，打完，调了一阵，发现题解是错了？？？
woc，题解并没有满足字典序的要求、、
😕😕😕 玩 nm
Statement
Solve
最后，终究决定自己搞一手。
大致题意：给定一个无向连通图，先求出一颗最短路径树，满足经过的顶点序列取字典序最小的。
求包含 \(k\) 个点的最长路，求包含 \(k\) 个点的最长路又几条
其实这个很明显了，我们肯定需要一个最短路径树 \((SPT)\) ，考虑后面的树上路径计数问题，我们可以自然想到淀粉质
这里最有讲究的其实是在于这个字典序的限制
大家以前也许见过让 \(SPT\) 边权和最小之类的问题，但这里显然不同
这个字典序显然需要和我们之后的淀粉质求解相配合，所以我们先考虑如何淀粉质
求到中心，遍历每个儿子，我们可以把一条路径认为是 \(前面某个子树\to rt+rt\to 当前子树\)
我们设 \(len[i]\) 表示与当前 \(rt\) 有 \(i\) 个点的最长路，\(cnt[i]\) 表示对应的方案数
然后感觉就可以淀粉质爆 \(++\) 了（感觉代码比文字更好懂）
bool cmax(int &a,int b){return a<b?a=b,1:0;}
void calc(int u,int fath,int dep,int dis){
if(cmax(ans,dis+len[k-dep]))num=cnt[k-dep];//更长的路径
else if(ans==dis+len[k-dep])num+=cnt[k-dep];//一样长，方案增加
for(int e=head[u],v;e;e=edge[e].nex)
if(!vis[v=edge[e].to]&&(v^fath))
calc(v,u,dep+1,dis+edge[e].dis);
}
void update(int u,int fath,int dep,int dis){
if(cmax(len[dep+1],dis))cnt[dep+1]=1;
else if(len[dep+1]==dis)cnt[dep+1]++;
for(int e=head[u],v;e;e=edge[e].nex)
if(!vis[v=edge[e].to]&&(v^fath))
update(v,u,dep+1,dis+edge[e].dis);
}
for(int e=head[u],v;e;e=edge[e].nex)
if(!vis[v=edge[e].to])
calc(v,0,1,edge[e].dis),
update(v,0,1,edge[e].dis);
发现当前子树贡献是由前面子树而来，那么，我们只要保证前面子树节点字典序尽量靠前就好
考虑在 \((vector)\) 存图的时候，我们就把每个点 \(u\) 的出边 \((u,v)\) 按照 \(v\) 从小到大排序，然后跑 \(dijkstra\)
显然，连边条件是 \(dis[v]==dis[u]+edge[e].dis\)
因为我们排了序，顺次枚举儿子，判断连接即可
void build(int u){
vis[u]=1;
for(pair<int,int>v:Edge[u])
if(dis[v.fi]==dis[u]+v.se&&!vis[v.fi])
addedge(u,v.fi,v.se),build(v.fi);
}
Code
那个 \(define\) 的内容可能稍显毒瘤，主要是懒得写
#include<bits/stdc++.h>
#define scan for(int e=head[u],v;e;e=edge[e].nex)
#define pd1 if(!vis[v=edge[e].to]&&(v^fath))
#define pd2 if(!vis[v=edge[e].to])
#define re if(k==dep)return
#define pii pair<int,int>
#define mp make_pair
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 3e4+5;
const int inf = 1e9+7;
struct Edge{
int nex,to,dis;
}edge[N<<2];
int head[N],dis[N];
int siz[N],mxp[N],len[N],cnt[N];
int n,m,k,rt,elen,ans=-1,num,total;
vector<pii >Edge[N];
bool vis[N];
bool cmin(int &a,int b){return a>b?a=b,1:0;}
bool cmax(int &a,int b){return a<b?a=b,1:0;}
void addedge(int u,int v,int w){
edge[++elen]={head[u],v,w},head[u]=elen;
edge[++elen]={head[v],u,w},head[v]=elen;
}
void dijkstra(){
priority_queue<pii>q;
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[1]=0,q.push(mp(0,1));
while(q.size()){
int u=q.top().se;q.pop();
if(vis[u])continue;vis[u]=1;
for(pair<int,int>v:Edge[u])
if(cmin(dis[v.fi],dis[u]+v.se))
q.push(mp(-dis[v.fi],v.fi));
}
}
void build(int u){
vis[u]=1;
for(pair<int,int>v:Edge[u])
if(dis[v.fi]==dis[u]+v.se&&!vis[v.fi])
addedge(u,v.fi,v.se),build(v.fi);
}
void getroot(int u,int fath){
siz[u]=1,mxp[u]=0;
scan pd1 getroot(v,u),
siz[u]+=siz[v],cmax(mxp[u],siz[v]);
cmax(mxp[u],total-siz[u]);
if(mxp[u]<mxp[rt])rt=u;
}
void clear(int u,int fath,int dep){
re;
len[dep+1]=len[k-dep]=-inf;
cnt[dep+1]=cnt[k-dep]=0;
scan pd1 clear(v,u,dep+1);
}
void calc(int u,int fath,int dep,int dis){
re;
if(cmax(ans,dis+len[k-dep]))num=cnt[k-dep];
else if(ans==dis+len[k-dep])num+=cnt[k-dep];
scan pd1 calc(v,u,dep+1,dis+edge[e].dis);
}
void update(int u,int fath,int dep,int dis){
re;
if(cmax(len[dep+1],dis))cnt[dep+1]=1;
else if(len[dep+1]==dis)cnt[dep+1]++;
scan pd1 update(v,u,dep+1,dis+edge[e].dis);
}
void divide(int u){
getroot(u,0);vis[u=rt]=1;
scan pd2 clear(v,0,1);
len[1]=0,cnt[1]=1;
scan pd2
calc(v,0,1,edge[e].dis),
update(v,0,1,edge[e].dis);
scan pd2 total=siz[v],rt=0,divide(v);
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1,u,v,w;i<=m;++i)
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),
Edge[u].push_back(mp(v,w)),
Edge[v].push_back(mp(u,w));
for(int i=1;i<=n;++i)
sort(Edge[i].begin(),Edge[i].end());
dijkstra(),memset(vis,0,sizeof(vis));
build(1),memset(vis,0,sizeof(vis));
mxp[0]=total=n;divide(1);
printf("%d %d\n",ans,num);
return 0;
}
