「TYVJ1098」任务安排 1 题解

「TYVJ1098」任务安排 1 题解

题面

\(N\) 个任务排成一个序列在一台机器上等待完成（顺序不得改变），这 \(N\) 个任务被分成若干批，每批包含相邻的若干任务。从时刻 \(0\) 开始，这些任务被分批加工，第 \(i\) 个任务单独完成所需的时间是 \(T[i]\) 。在每批任务开始前，机器需要启动时间 \(S\)，而完成这批任务所需的时间是各个任务需要时间的总和（同一批任务将在同一时刻完成）。每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 \(C[i]\)。请确定一个分组方案，使得总费用最小。 例如：\(S=1；T=\{1,3,4,2,1\}；C=\{3,2,3,3,4\}\)如果分组方案是 \(\{1,2\}、\{3\}、\{4,5\}\)，则完成时间分别为\(\{5,5,10,14,14\}\)，费用 \(W=\{15,10,30,42,56\}\)，总费用就是 \(153\)。

输入

第一行是 \(N(1\leq N\leq 5000)\)。 第二行是 \(S(0\leq S\leq 50)\)。 下面 \(N\) 行每行有一对数，分别为 \(T[i]\) 和 \(C[i]\)，均为不大于 \(100\) 的正整数，表示第 \(i\) 个任务单独完成所需的时间是 \(T[i]\) 及其费用系数 \(C[i]\)。

输出

一个数，最小的总费用。

样例

样例输入1

5
1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4

样例输出1

153

解题

考虑 DP

我们首先设状态：\(f[i][j]\) 表示前 \(i\) 个任务分成 \(j\) 批执行的最先费用

那么有状态转移方程：

\(f[i][j]=\min_{j-1\leq k<i}\{f[k][j-1]+val(k,i)\}\)

其中，\(val(k,i)=(S*j+sumT[i])\times(sumC[i]-sumC[j])\)

其中，\(sumT[i]=\sum_{j=1}^i T[j],sumC[i]=\sum_{j=1}^i C[j]\)​

即，考虑第 \(j\) 批任务执行的是 \(k+1\dots i\) 个任务

但这样是 \(O(n^3)\)​ ,爆了，我们需优化。

注意到 题目并没有规定分成多少批次

之所以需要批次，是因为想知道有多少次启动时间S，从而计算出每批任务完成的时间

实际上，可以将每批任务花费的启动时间S，对之后任务的影响提前计算

\(----------\)

状态：$ f[i]$，表示前 \(i\) 个任务划分成若干批执行的最小费用。

考虑当前批次执行的任务，有状态转移方程：

\[f[i]=\min_{0\leq j<i}\{f[j]+sumT[i]*(sumC[i]-sumC[j])+S*(sumC[n]-sumC[j])\} \]

怎么理解呢？

当前批次执行的任务为第 \(j+1\dots i\) 个任务

第一部分是直接把 \(sumT[i]\) 当做这批的结束时间（之前的启动时间已经在 \(f[j]\) 中）

第二部分，机器的启动时间会对第 \(j\) 个任务以后的所有任务产生影响，提前将影响累加到最小费用中

时间复杂度 \(O(n^2)\)

这其实是 费用提前计算 的经典思想

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 5e3+5;

int n,s,t[N],c[N],f[N];

signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&s);
    for(int i=1;i<=n;++i)
	scanf("%lld%lld",&t[i],&c[i]),
	t[i]+=t[i-1],c[i]+=c[i-1];
    memset(f,127,sizeof(f));
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=0;j<i;++j)
            f[i]=min(f[i],f[j]+t[i]*(c[i]-c[j])+s*(c[n]-c[j]));
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}