欧拉函数相关

欧拉函数相关

Definition

对每个正整数 \(n\)，以 \(φ(n)\) 表示 \(1\) 至 $n $ 中与 \(n\) 互素的整数个数，称作欧拉函数

Theorem 欧拉函数的计算式

设 \(n ≥ 2，n =p_i^{a_i}\) 是正整数 \(n\) 的标准分解式，则

\(\varphi(n)=n\Pi_{i=1}^k(1-\frac 1{p_i})\)

Proof

设 \(p,q\) 是 \(n\) 的两个不同质因子 ，那么在 \([1,n]\) 中一共有 \(\dfrac np\) 个数是 \(p\) 的倍数，这 \(\dfrac n p\) 个数显然不和 \(n\) 互素。\(q\) 同理。如果我们把这 \(\dfrac n p+\dfrac n q\) 个数同时去掉，那么会有 \(\dfrac n {pq}\) 个数被重复剔除，所以，\(1\) 到 \(n\) 中，不与 \(n\) 含有 \(p\) 或 \(q\) 因子的数有

\[n-\frac np-\frac nq+\frac n{pq}=n(1-\frac1p-\frac1q+\frac1{pq})=n(1-\frac1p)(1-\frac1q) \]

毕。

由这个定理，我们可以知道 \(\varphi\) 是一个积性函数

它有以下几个性质

• $\forall n>1,(1,n] $ 中与 \(n\) 互质的数的和为 \(n\varphi(n)/2\)

  Proof 我们知道 \(\gcd(n,x)=\gcd(n,n-x)\) ，那么与 \(n\) 互质的数会成对出现，平均值为 \(n/2\)

• 设 \(p\) 为质数，而且 \(p|n,p^2|n\) 那么，\(\varphi(n)=\varphi(n/p)*p\)

  Proof 我们知道 \(\varphi\) 的值只和有什么质因子有关而不在乎具体有几个质因子

  显然有 \(n/p\) 和 \(n\) 的质因子集合相同，所以 \(\frac{\varphi(n)}{\varphi(n/p)}=\frac n{n/p}=p\)

• 设 \(p\) 为质数，而且 \(p|n,p^2\nmid n\) 那么，\(\varphi(n)=\varphi(n/p)*(p-1)\)

  Proof 显然

一个重要的性质是：

Corollary \(\sum_{d|n}\varphi(d)=n\)

证明一：设 \(f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)\) ,我们首先可以证明 \(f\) 是一个积性函数：设 \((n,m)=1\) ，则

\[f(nm)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=(\sum_{d|n}\varphi(d))*(\sum_{d|m}\varphi(d))=f(n)*f(m) \]

（这里利用了 \(\varphi\) 是一个积性函数）

那么，对于 \(n\) 的单个质因子 \(p\) :

\[f(p^c)=\sum_{d|p^c}\varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+\dots +\varphi(p^c) \]

注意到这是一个等比数列求和，结果是 \(f(p^c)=p^c\)

所以，由 \(f\) 是一个积性函数 \(f(n)=n\)

证明二：

\[\begin{align} \varphi(d)&=\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]\\ &=\sum_{i=1}\sum_{d|\gcd(i,n)}\mu(d)\\ &=\sum_{d|n}\mu(d)(\frac nd)\\ \end{align} \]

设 \(f(n)=n\) ,那么 \(\varphi(n)=\sum_{d|n}f(\frac nd)\mu(d)\)

由莫比乌斯反演 ,\(\sum_{d|n}\varphi(n)=f(n)=n\)