树状数组例题
树状数组例题
1.【模板】树状数组1
题意：序列单点修改，区间查询
思路：模板
#include<bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) -x&x
using namespace std;
const int N = 5e5+5;
int n,m;
int opt,x,k;
int sum[N];
void add(int x,int k){
for(;x<=n;x+=lowbit(x))
sum[x]+=k;
}
int query(int x){
int res=0;
for(;x;x-=lowbit(x))
res+=sum[x];
return res;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,t;i<=n;i++)
scanf("%d",&t),add(i,t);
while(m--){
scanf("%d%d%d",&opt,&x,&k);
if(opt==1)add(x,k);
else printf("%d\n",query(k)-query(x-1));
}
return 0;
}
树状数组的核心其实是那个 #define lowbit(x) -x&x
2.[POJ3468]A Simple Problem with Intergers
题意：序列区间修改，区间查询
思路：线段树秒杀（！！注意常数），以下摘自《算法竞赛进阶指南》
首先简化题目：区间修改，单点查询怎么做？
我们知道树状数组的本质是前缀和，设原序列 \(a[]\) 不妨建立一个差分数组 \(b[i]=a[i]-a[i-1]\) 。
这时候如果我们要将区间 \([l,r]\) 增加 \(d\) ，转化成了这样： \(b[l]+=d;b[r+1]-=d\)
考虑这时候的 \(b\) 的前缀和：
- 对于 \(1\leq x<l\) ，前缀和不变
- 对于 \(l\leq x\leq r\) ，前缀和增加 \(d\)
- 对于 \(r<x\leq n\) ，前缀和不变
我们发现，b 数组的前缀和 \(b[1...x]\) 就是区间 \([l,r]\) 增加 \(d\) 对 \(a\) 的影响，于是可以用树状数组维护 \(b\)
容易发现，修改后 \(a[x]\) 的实际值 \(=query(x)+a[x]\)
好的，现在回到原问题。
我们现在知道 \(\sum_{i=1}^xb[i]\) 就是区间修改后 \(a[x]\) 增加的值。
那么序列 \(a\) 的前缀和 \(a[1..x]\) 整体增加的值就是：
所以我们可以再用一个树状数组维护 \(i*b[i]\) 的值。
于是，回答询问 \([l,r]=(sum[r]+(r+1)*query(c_0,r)-query(c_1,r))-\\(sum[l-1],(r-1)*query(c_0,l-1)-query(c_1,l-1))\)
其中树状数组 \(c_0\) 维护 \(i*b[i]\) ，树状数组 \(c_1\) 维护 \(b[i]\)
//[POJ3468]A_Simple_Problem_with_Integers
#include<bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) -x&x
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5;
int a[N],n,m;
ll sum[N],c[2][N];
void add(int which,int x,int val){
for(;x<=n;x+=lowbit(x))
c[which][x]+=val;
}
ll query(int which,int x){
ll res=0;
for(;x;x-=lowbit(x))
res+=c[which][x];
return res;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
sum[i]=sum[i-1]+a[i];
}
while(m--){
char op[2];
int l,r,d;
scanf("%s%d%d",op,&l,&r);
if(op[0]=='C'){
scanf("%d",&d);
add(0,l,d);
add(1,l,d*l);
add(0,r+1,-d);
add(1,r+1,-d*(r+1));
}else{
ll ans=sum[r]+(r+1)*query(0,r)-query(1,r);
ans-=sum[l-1]+l*query(0,l-1)-query(1,l-1);
printf("%lld\n",ans);
}
}
}
3.[POJ2352]Stars
题意：链接
分析：这里 https://blog.csdn.net/qq_42367703/article/details/98093999 说得很清楚
4.「POJ2299」Ultra-QuickSort
题意：请分析，对于一串数列,至少要交换多少次（相邻两个数交换）才能使该数列有序（从小到大）？
分析：逆序对模板
for(int i=n;i;i--){
ans+=query(a[i]-1);
add(a[i],1);
}
5.「NOIP2013」火柴排队
题意：现有两列每列个数为 \(n\) 的火柴，且每列中火柴棒的高度均不相同，求得到 \(\sum[(a_i-b_i)^2]\) 的最小值的时候，最少需要交换火柴的次数，其中 \(i\) 表示 \(a、b\) 两列火柴棒中第i根火柴
分析：由数据范围，我们首先知道要离散化，然后我们可以对式子进行变型：
所以也就是求 \(\sum(a_ib_i)\) 最大值，
容易证明， 对于数列 \(k_1\dots k_n,p_1\dots p_n，\sum(k_i*p_i)\) 的最小值要求两个数列有序的分别从小到大（或从大到小）排列
也即是：顺序之乘>=乱序之乘
所以也就是逆序对了。
6.楼兰图腾
题意：给定一串序列，分别找到满足 \(1<=i<j<k<=n\) 且 \(yi>yj,yj<yk\) （称为‘V’图腾）； 满足 \(1<=i<j<k<=n\) 且 \(y_i<y_j,y_j>y_k\) （称为' ∧ ' 图腾）的数量
分析： 树状数组求逆序对,让我们知道了如何在一个序列中计算每个数后面有多少个数比它小,因此我们可以通过这个性质来做一些事情
‘v’图腾求法
正序扫描序列 \(a \) ,利用树状数组求出每个 \(a[i]\) 前面有几个数比它大,记录为 \(left[i]\)：
for(int i=1;i<=n;add(a[i++],1))l[i]=query(mx)-query(a[i]);
倒序扫描序列 \(a\),利用树状数组求出每个 \(a[i]\) 后面有几个数比它大,记录为 \(right[i]\) ：
for(int i=n;i>=1;add(a[i--],1))r[i]=query(mx)-query(a[i]);
然后我们就可以枚举每一个点为中间点,那么这个点为中心的’v’图腾的个数就是\(\sum_{i=1}^n=left[i]\times right[i]\)
’^’图腾求法
正序扫描序列 \(a\),利用树状数组求出每个 \(a[i]\) 前面有几个数比它小,记录为 \(left[i]\)
for(int i=1;i<=n;add(a[i++],1))l[i]=query(a[i]-1);
倒序扫描序列 \(a\),利用树状数组求出每个 \(a[i]\) 后面有几个数比它小,记录为 \(right[i]\)
for(int i=n;i>=1;add(a[i--],1))r[i]=query(a[i]-1);
（这波是压行大法好）
然后我们就可以枚举每一个点为中间点,那么这个点为中心的’^’图腾的个数就是\(\sum_{i=1}^1=left[i]×right[i]\)
同时注意数组清空
这段分析摘自（并良心地加上了 \(Latex\) ）：
作者：秦淮岸灯火阑珊
链接：https://www.acwing.com/solution/content/1008/
来源：AcWing
7.「IOI2001」Mobile Phones
题意：矩阵内单点修改，区域询问
分析：二维树状数组
8.[CQOI2006]简单题
题意：有一个 \(n\) 个元素的数组，每个元素初始均为 \(0\)。有 \(m\) 条指令，有两种操作：
- 形如\(1 l r\)，将区间 \([l,r]\) 之间的数反转，反转规则是：0 变为 1，1 变为 0。
- 形如 \(2 x\)，输出数组下标为 \(x\) 的值
分析： 由1变0，0变1这一波操作你们想到了什么？ 异或
区间修改，考虑异或差分序列，每个元素的真实值是异或前缀和，修改的时候改 \(l\) 和 \(r+1\) 两个点，树状数组维护。
