三种方式理解原、逆否命题同真同假

本人的证明并不是非常严谨

证明1 感性理解

把这个问题翻译成人话：（如果 $\alpha$ 是真的，那么 $\beta$ 是真的）说明（如果 $\beta$ 是假的，那么 $\alpha$ 是假的）

其实是显然的，我们考虑 $\alpha$ 和 $\beta$ 的真假情况：

$\alpha$	$\beta$	情况
True	True	即题设
True	False	显然与题设矛盾
False	True	显然与题目无关
False	False	即结论

证明1的精髓其实是在于翻译成人话那一步

证明2 集合

预备

我们将任意一个命题写成 $p\to q$ 的形式，表示“如果 $p$ ，那么 $q$.”

if(p==true)q=true;//用程序语言表达是这样

通过这种形式，我们可以较为清晰得表示出

• 逆命题：$q\to p$
• 否命题：$\neg p\to\neg q$
• 逆否命题：$\neg q\to \neg p$

可以看出逆否命题即使逆命题和否命题的组合

我们要证明的即是：$(p\to q)\to(\neg q\to\neg p)$

举个栗子，原命题： 如果小明打碎了花瓶，那么她妈妈一定会打他。

它的逆否命题为： 如果小明妈妈没有打小明，那么小明一定没有打碎花瓶。

从这个栗子可以想到：二者的真假性是相同的

证明

因此设满足 $p$ 的元素构成集合 $P$ , 满足 $q$ 的元素构成集合 $Q$ ，满足 $\neg p$ 的元素构成集合 $P^{\prime}$ ，满足 $\neg q$ 的元素构成集合 $Q^{\prime}$。于是，对于全集 $U$ ，$P^{\prime}$ 是 $P$ 的补集 $\complement_UP$ ，$Q^{\prime}$ 是 $Q$ 的补集 $\complement_UQ$

证明3 定理

可以先了解一下这个啊

我们需要证明的是：$\vdash(P\to Q)\to(\neg Q\to\neg P)$

$P\to Q$ 表示 $P$ 蕴含 $Q$ ,它是命题 $\neg P\vee Q$

$\neg Q\to\neg P$ 表示 $\neg Q$ 蕴含 $\neg P$，它是命题 $\neg(\neg Q)\vee\neg P=Q\vee\neg P$

显然有 $\neg P\vee Q=Q\vee\neg P$

因此二者真值相同

补充

由此，我们可以知道命题和否命题的真假性也相同

参考

https://www.zhihu.com/question/296606243