命题逻辑公理系统浅谈

命题逻辑公理系统

概念

从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成的演绎体系叫做公理系统。

命题逻辑的重言式^ 1可以组成一个公理系统

• 初始命题是重言式
• 从公理出发，利用推理规则，可以推导出定理，定理都是重言式
• 该系统推出的都是重言式，而且能推出所有重言式

初始符号

• 命题符号：$\alpha,\beta,\gamma,\varepsilon\dots$
• 联结词：$\neg ,\vee,\to\dots$
• 辅助符号：,
• 可证符号：$\vdash$[^ 2]（后接公式，表示该公式在系统中是可证明的）

组成

• 符号集：$\alpha ,\beta\dots$
• 公式集：用于表达命题的符号串
• 公理集：用于表达推理出发的初始肯定命题
• 推理规则集：由公理以及已证定理得出新定理的规则
• 定理集：表达了肯定的所有命题

形成

数学的公理化运动

平常，我们讨论命题逻辑,是从语义角度,非形式化地、不严谨地进行解释性的讨论.

而数学传统追求的是严格的形式化、公理化系统。

• 形式化:符号化,只有语法定义,并无语义解释。
• 公理化:从初始符号串(公理)出发,根据符号变换规则，推导出其他符号串(定理).

（欧氏几何就是一个经典的公理化系统）

从数学发展看 ，

数学发展第一阶段：无理数的发现与欧几里德的《几何原本》（用抽象的方法定义一些几何对象，然后用公设和公理推出其他的几何对象）

数学发展的第二阶段：微积分以及贝克莱对无穷小$\Delta x$ 的怀疑；柯西的 $\varepsilon-\delta$ 极限定义；对数学思维基础的讨论导致了符号逻辑-数理逻辑的产生和发展;对数学基础的讨论导致了康托的集合论的产生。

其中，集合论公理化运动假定数学运用的逻辑本身没有问题，而罗素（逻辑主义）、布劳威尔（直觉主义）、希尔伯特（形式主义）等人对于这一前提提出不同观点。

罗素《数学原理》为现代数理逻辑贡献巨大。

数学发展的第三阶段：罗素悖论说明了集合论在逻辑上也是矛盾的。数学的基础受到新的怀疑。

（以上是对数学公理化运动的过程简述）

公理系统形成规则

1. 命题符号是公式
2. 若 $\alpha$ 是公式，则 $\neg\alpha$ 是公式
3. 若 $\alpha$ 和 $\beta$ 是公式，则 $\alpha\vee\beta$ 是公式
4. 公式仅限于此

阐述

定义

• $D1.\alpha\wedge\beta$ 定义为 $\neg\left(\neg\alpha\vee\neg\beta\right)$
• $D2.\alpha\to\beta$ 定义为 $\neg\alpha\vee\beta$ （即“如果A，那么B”）
• $D3.\alpha\leftrightarrow\beta$ 定义为 $\left(\alpha\to\beta\right)\wedge\left(\beta\to\alpha\right)$

其中$D2$ 有一点需要注意：

1. 若$\alpha\to\beta$ 真且$\alpha$ 真，则 $\beta$ 真
2. 若$\alpha\to\beta$ 真且$\beta$ 假，则 $\alpha$ 假

（上述定义的目的是简化公式表达，也可将 $\wedge\to\leftrightarrow$作为初始符号，并增加相应形成规则

公理

其中 $P,Q,R$ 可为任意公式

• $A1.\vdash(P\vee P)\rightarrow P$
• $A2.\vdash P\to\left(P\vee Q\right)$
• $A3.\vdash\left(P\vee Q\right)\to\left(Q\vee P\right)$
• $A4.\vdash\left(Q\to R\right)\to\left(\left(P\vee Q\right)\to\left(P\vee R\right)\right)$

推理规则

• $R1.$代入规则：若 $\vdash\alpha$，则 $\vdash\alpha[p/\beta].$（将公式 $\alpha$ 中某符号 $p$ 处处代以公式$\beta$ ，称为代入，结果记作 $\alpha[p/\beta].$ ）
• $R2.$分离规则：若 $\vdash\alpha,\vdash\alpha\to\beta$ ，则 $\vdash\beta$
• $R3$.置换规则：定义的左右方可互相替换.设对公式 $\alpha$ 施以置换后得到公式$\beta$。若 $\vdash\alpha$,则 $\vdash\beta.$

定理

• $T1.\vdash P\to P$ （同一律）
• $T2.\vdash P\to(Q\to P)$
• $T3.若\vdash (P\to Q)且\vdash(Q\to R),则 \vdash P\to R$ （传递律）
• $T4.\vdash\left(Q\to R\right)\to((P\to Q)\to(P\to R))$ （传递律）
• $T5.\vdash(P\to(Q\to R))\to((P\to Q)\to(P\to R))$
• $T6.\vdash P\to(\neg P\to Q)$
• $T7.\vdash \neg P\to(P\to Q)$

证明方法

设有公式序列$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots,\alpha_n$如果对于每个$\alpha_i (i\in [1,n])$都有：

1. 或是公理之一
2. 或者是由前面的一个或两个 $\alpha_h$ 和 $\alpha_h(h,k <i)$实施推理规则而得

则，称此公式序列是定理 $\alpha_n$ 的一个证明

按上述证明方法举例证明：

$T1：\vdash P\to P$

名同一律，证明：

$$\begin{align*} &P\to(P\vee Q) \tag{1}\\ &P\to(P\vee P) \tag{2}\\ &(P\vee P)\to P \tag{3}\\ &(Q\to R)\to((P\to Q)\to(P\to R)) \tag{4}\\ &((P\vee P)\to P)\to((P\to(P\vee P))\to(P\to P)) \tag{5}\\ &(P\to(P\vee P))\to(P\to P) \tag{6}\\ &P\to P \tag{7}\\ \end{align*}$$

其中，$(1)$由$\vdash P$ 通过公理 $A2$ 得到

$(2)$是由$(1)$通过推理规则 $R1$ ，代入 $[Q/P]$ 得到

$(3)$是由$(2)$通过公理 $A1$ 得到

$(4)$是 $T4$ 的结论，具体的证明见下

$(5)$是由$(4)$通过推理规则$R1$，代入$[Q/P\vee P,R/P]$ 得到

$(6)$是由$(3)(5)$ ，通过推理规则 $R2$ 分离得到

$(7)$是由$(2)(6)$ ，通过推理规则 $R2$ 分离得到

$T4$： $\vdash\left(Q\to R\right)\to((P\to Q)\to(P\to R))$

这条定理也被称为传递律，证明：

$$\begin{align*} &\vdash(Q\to R)\to((P\vee Q)\to(P\vee R)) \tag{1}\\ &\vdash(Q\to R)\to((\neg P\vee Q)\to(\neg P\vee R)) \tag{2}\\ &\vdash(Q\to R)\to((P\to Q)\to(P\to R)) \tag{3}\\ \end{align*}$$

其中，$(1)$是由 $\vdash(Q\to R)$ 通过公理 $A4$ 得到

$(2)$是由$(1)$通过推理规则 $R1$ ，代入 $[P/\neg P]$得到

最后 $(3)$ 是直接通过定义 $D2$ ，遂原命题得证

公理系统性质

• 协调性(相容性,一致性,不矛盾性)：即推出的定理都是真的，或 $\alpha$ 和 $\neg\alpha$ 不都是定理.
• 完全性（完备性）：$\forall$定理均能在系统中推出
• 独立性：公理 $\alpha$ 不能被其他公理推出，即不能有冗余的公理

参考

https://www.docin.com/p-1307002680.html

https://wenku.baidu.com/view/e2184478876fb84ae45c3b3567ec102de2bddf8c.html

https://wenku.baidu.com/view/6331566e561252d380eb6ed8.html

[^ 2]: 句法后承（$\vdash$）：连接一个命题集合和一个命题，如$\Sigma\vdash\phi$，表示的是 $\phi$ 可以通过句法证明的方式从$\Sigma$ 中得出。以 Hilbert style 的证明为例，这即是说，存在一个命题序列，使得每个前提要么是公理，要么是 $\Sigma$ 中的命题，而这个命题序列的最后一项是 $\phi$。