Roads and Planes 题解
A 前言
（本文搬运自作者学校WordPress中 作者所写文章）
对于2020.8.5日的C2022同学们
这题有yi点超纲，
所以，里面会涉及到一些新的概念，新的知识
预计里面的概念在2020.8.6日我们可以全面掌握
所以不再题解中过多对概念进行诠释
同时，陈同学讲解的SPFA的SLF优化是可以水过的，但并不是本题的正解
正解oj上用时200ms
而加了SLF的SPFA还是用了1500ms勉强卡过（时限2s）
B 题面
C 解题
我们把题目稍微概括一下：
有 T 个点，R 条双向边，P 条单向边。其中双向边权值均为正，单向边权值可以为负。
保证如果有一条航线可以从 a 到 b，那么保证不可能通过一些道路和航线从 b 回到 a。
请你求出 S 到所有点的最短距离，若不能到达则输出"NO PATH"
数据范围： 1<=T<=25000 , 1<=R,P<=50000
容易发现，这是一个带负权的最短路
乍一看，我们可以用SPFA（关于SPFA，它死了！！！），但显然会被卡掉
而考虑dijkstra又会有负权的问题
所以我们需要从题目中挖掘一些特别的性质来解决这道题
我们把题目在读一遍，看到这样一句话：
保证如果有一条航线可以从 a 到 b，那么保证不可能通过一些道路和航线从 b 回到 a
也就是说：
这个图不存在负环，有可能存在正环
也就是说，如果只把双向边添加进来，那么一定就形成了若干个强连通的块。
或者是说，我们可以把双向边连接的点看作是一个整体
（不知道强联通的看 ）
图片理解：（图丑轻喷）
这其实运用到了缩点（了解更多）
而可能的负权边又保证不成环（不反向联通）
因此把无向边联通块缩点后，得到的就是有向无环图
所以，我们可以在块内使用dijkstra最短路
块间利用拓扑排序更新答案
（在这里我假设我们知道拓扑排序 实在不知道看 这里）
为什么要用拓扑排序呢？
- 拓扑排序可以处理负边权
- 拓扑排序时间复杂度是O（V+E）
- 拓扑排序得到的路径显然就是答案
（注：拓扑排序的缺点在于要求出发点入度为0，终点出度为0 且 不能处理无向边）
C1 定义
由于本题变量实在太多，所以我把它们定义在一起，
方便大家看到后面突然对变量名迷茫了 可以回头看一看
（自认为变量名含义还是比较明了的）
const int N=25003,M=150003,INF=0x3f3f3f3f; struct Edge{ int next; //下一条边 int dis; //边权 int to; //下一个点 }edge[M]; int t,r,p,s,elen; //t个点，r条双向边，p条单向边，起点s，edge[]长度elen int head[N]; //head[i]是i的第一条边 int id[N]; //id[i]是i点所在的联通块编号 int dis[N]; //dis[i]是i点到起点的最短路 int vis[N]; //i是否被访问过 int in[N]; //in[i]是i点拓扑排序的入度 queue<int>q; //拓扑排序的队列 vector<int>block[N];//block[i]存联通块i中的点 int cnt_block; //联通块的个数
dijkstra
（我在这里是使用的STL，了解更多 ）
（背不住dijkstra模板的可以劝退了）
- 将每一个点插入堆中
- 取出堆中的最小值，遍历与那个点相连的点（优先队列实现）
- 如果可以更新最短距离，就更新；并且如果它们处于同一个连通块中，就将遍历到的点插入堆中。
- 如果它们不在同一个联通块里面，且遍历到的点入度为0，则将这个点插入拓扑排序的队列里
我们一步步来：
1.定义一个优先队列：
priority_queue <pair <int ,int > > qh;
同时需要说明的的是：其实优先队列是实现堆实现的，默认是大根堆
所我们可以把它理解成堆的STL
第一个排序依据是pair的first
第二个排序依据是pair的second。
第一关键字是距离 dis[i]
第二关键字自然是 i
2.将每一个点插入堆中
int len=block[now].size(); //.size()获得block[i]的长度 for(int i=0;i<len;i++){ qh.push(make_pair(-dis[block[now][i]],block[now][i]));//将每一个点插入队列中 }
ph.push(a)表示把a插入队列
make_pair(a,b)表示生成数据
值得注意的是，因为这默认是大根堆
而我们需要的是小根堆，所以我们可以通过加个符号的方法
让他实际上是一个小根堆
（其实所谓“默认”是可以调整的，可以见袁同学的 15分钟掌握STL）
3.取出堆中的最小值，遍历与那个点相连的点
while(!qh.empty()){ //堆不空 int u=qh.top().second; //其实取出的是最小值的位置 qh.pop(); //取出后要把堆顶删除（弹出） if(vis[u])continue; //跳过 vis[u]=1; //标记 for(int e=head[u];e;e=edge[e].next){//遍历边 //do the other things... } }
qh.second是pair中第二个值
4.如果可以更新最短距离，就更新；并且如果它们处于同一个连通块中，就将遍历到的点插入堆中
这里其实是对for循环内语句的描述
（忘记变量名意思的可以回头看一眼）
int v=edge[e].to; if(dis[v]>dis[u]+edge[e].dis){ //可以更新距离 dis[v]=dis[u]+edge[e].dis; if(id[v]==id[u]) //在同一个联通块中 qh.push(make_pair(-dis[v],v));//插入堆 }
注意默认是大根堆
5.如果它们不在同一个联通块里面，且遍历到的点入度为0，则将这个点插入拓扑排序的队列里
也就是：
if(id[v]!=id[u]&&!--in[id[v]])q.push(id[v]);
我们把上述代码串起来：
inline void dijkstra(int now){ priority_queue <pair <int ,int > > qh;//定义一个优先队列 int len=block[now].size(); //.size()获得block[i]的长度 for(int i=0;i<len;i++){ qh.push(make_pair(-dis[block[now][i]],block[now][i]));//将每一个点插入堆中 } while(!qh.empty()){ //堆不空 int u=qh.top().second; //其实取出的是最小值的位置 qh.pop(); //取出后要把堆顶删除（弹出） if(vis[u])continue; //跳过 vis[u]=1; //标记 for(int e=head[u];e;e=edge[e].next){//遍历边 int v=edge[e].to; if(dis[v]>dis[u]+edge[e].dis){ //可以更新距离 dis[v]=dis[u]+edge[e].dis; if(id[v]==id[u]) //在同一个联通块中 qh.push(make_pair(-dis[v],v));//插入堆 } if(id[v]!=id[u]&&!--in[id[v]])q.push(id[v]); //下一个块可以进行拓扑排序 } } }
其他
拓扑排序
inline void toposort(){ //拓扑排序 memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); //初始化最短距离 dis[s]=0; for(int i=1;i<=cnt_block;i++){//cnt_block:块的个数 if(!in[i])q.push(i); //先加入入度为0 的点 } while(!q.empty()){ //非空 int t=q.front();q.pop(); //取出第一个点并弹出 dijkstra(t); //对每个联通块做dijkstra } }
拓扑排序的定义：
如果a排在b前面，则b不能通过任何方式到达a
为了适应本题需要，上面代码并不是拓扑排序的模板
下面给出拓扑排序的伪代码模板：
- 数据结构：inder[i]顶点i的入度，stack[] 栈
- 初始化：top=0（栈顶指针置零）
- i=0（计数器）
- while(栈非空）
- 栈顶顶点v出栈;top-1;输出v；i++；
- for v的每一个后继顶点u
- inder[i]--; u的入度减1
- if indet[i]==0 顶点 u 入栈
可以据此帮助理解上面的内容
DFS求id[]
void dfs(int u,int nowid){ id[u]=nowid; block[nowid].push_back(u); for(int e=head[u];e;e=edge[e].next){ int v=edge[e].to; if(!id[v])dfs(v,nowid); } }
注意id[i]表示i点所在的联通块的编号
建立边
这个就是常规操作了（邻接表建边）
inline void add(int from,int to,int dis){ edge[++elen].next=head[from]; edge[elen].to=to; edge[elen].dis=dis; head[from]=elen; }
main函数
在本题中，尤其需要注意上述函数的执行位置和顺序，比如：
dfs函数必须在单项边输入前执行，因为联通块中不含单向边
当然不只这一个细节
int main(){ scanf("%d%d%d%d",&t,&r,&p,&s); for(int i=1;i<=r;i++){ int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); add(u,v,w);add(v,u,w); } for(int i=1;i<=t;i++){//求每个点所在的联通块编号 if(!id[i]){ cnt_block++; dfs(i,cnt_block); } } for(int i=1;i<=p;i++){ int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); add(u,v,w); in[id[v]]++;//统计入度 } toposort();//拓扑排序 for(int i=1;i<=t;i++){ if(dis[i]>INF/2)printf("NO PATH\n");//判无解 else printf("%d\n",dis[i]); } return 0; }
注意判误解的要求是inf/2
这是为了判断无法到达时还用负数去更新的情况
D 代码
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=25003,M=150003,INF=0x3f3f3f3f; struct Edge{ int next; //下一条边 int dis; //边权 int to; //下一个点 }edge[M]; int t,r,p,s,elen; //t个点，r条双向边，p条单向边，起点s，edge[]长度elen int head[N]; //head[i]是i的第一条边 int id[N]; //id[i]是i点所在的联通块编号 int dis[N]; //dis[i]是i点到起点的最短路 int vis[N]; //i是否被访问过 int in[N]; //in[i]是i点拓扑排序的入度 queue<int>q; //拓扑排序的队列 vector<int>block[N];//block[i]存联通块i中的点 int cnt_block; //联通块的个数 inline void add(int from,int to,int dis){ edge[++elen].next=head[from]; edge[elen].to=to; edge[elen].dis=dis; head[from]=elen; } void dfs(int u,int nowid){ id[u]=nowid; block[nowid].push_back(u); for(int e=head[u];e;e=edge[e].next){ int v=edge[e].to; if(!id[v])dfs(v,nowid); } } inline void dijkstra(int now){ priority_queue <pair <int ,int > > qh;//定义一个优先队列 int len=block[now].size(); //.size()获得block[i]的长度 for(int i=0;i<len;i++){ qh.push(make_pair(-dis[block[now][i]],block[now][i]));//将每一个点插入堆中 } while(!qh.empty()){ //堆不空 int u=qh.top().second; //其实取出的是最小值的位置 qh.pop(); //取出后要把堆顶删除（弹出） if(vis[u])continue; //跳过 vis[u]=1; //标记 for(int e=head[u];e;e=edge[e].next){//遍历边 int v=edge[e].to; if(dis[v]>dis[u]+edge[e].dis){ //可以更新距离 dis[v]=dis[u]+edge[e].dis; if(id[v]==id[u]) //在同一个联通块中 qh.push(make_pair(-dis[v],v));//插入堆 } if(id[v]!=id[u]&&!--in[id[v]])q.push(id[v]); //下一个块可以进行拓扑排序 } } } inline void toposort(){ //拓扑排序 memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); //初始化最短距离 dis[s]=0; for(int i=1;i<=cnt_block;i++){//cnt_block:块的个数 if(!in[i])q.push(i); //先加入入度为0 的点 } while(!q.empty()){ //非空 int t=q.front();q.pop(); //取出第一个点并弹出 dijkstra(t); //对每个联通块做dijkstra } } int main(){ scanf("%d%d%d%d",&t,&r,&p,&s); for(int i=1;i<=r;i++){ int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); add(u,v,w);add(v,u,w); } for(int i=1;i<=t;i++){//求每个点所在的联通块编号 if(!id[i]){ cnt_block++; dfs(i,cnt_block); } } for(int i=1;i<=p;i++){ int u,v,w; scanf("%d%d%d",&u,&v,&w); add(u,v,w); in[id[v]]++;//统计入度 } toposort();//拓扑排序 for(int i=1;i<=t;i++){ if(dis[i]>INF/2)printf("NO PATH\n");//判无解 else printf("%d\n",dis[i]); } return 0; }
