随笔分类 - 数论——莫比乌斯反演

摘要：大力推式子+莫比乌斯反演+虚树 Statement 给定一棵

n

$n$ 个节点的树，每个点有一个权值

a [i]

$a[i]$ ，保证

a [i]

$a[i]$ 是一个

1 \dots n

$1\dots n$ 的排列。求 $\frac{1}{n(n−1)}∑^n_{i=1}∑_{j≠i}φ(a_i\times a_j)\ti 阅读全文

posted @ 2022-04-05 17:06 _Famiglistimo 阅读(26) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3768 简单的数学题题解

摘要：Statement

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} i j gcd (i, j), n \leq 1 e 10

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j),n\leq 1e10$ Solution \[ \begin{align*} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\ =&\sum_{x=1}^nx^3\sum_{ 阅读全文

posted @ 2021-12-24 15:34 _Famiglistimo 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

「51nod1220」约数之和题解

摘要：Statement

σ (k)

$\sigma(k)$ 表示

k

$k$ 的所有约数的和。

σ (6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12

$\sigma(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12$ 定义

S (N) = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} σ (i * j)

$S(N) = ∑_{i=1}^N ∑_{j=1}^N \sigma(i*j)$ 给出正整数

N

$N$ ，求

S (N)

$S(N)$ ，由于结果阅读全文

posted @ 2021-12-19 21:50 _Famiglistimo 阅读(47) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉函数相关

摘要：欧拉函数相关 Definition 对每个正整数

n

$n$ ，以

φ (n)

$φ(n)$ 表示

1

$1$ 至

n

$n$ 中与

n

$n$ 互素的整数个数，称作欧拉函数 Theorem 欧拉函数的计算式设

n \geq 2 ， n = p_{i}^{a_{i}}

$n ≥ 2，n =p_i^{a_i}$ 是正整数

n

$n$ 的标准分解式，则 \(\var 阅读全文

posted @ 2021-07-19 21:36 _Famiglistimo 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

计算 gcd(i,j)=k 的对数

摘要：Problem

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = k]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=k]$ Solution 设

f (k)

$f(k)$ 表示

gcd (i, j) == k

$\gcd(i,j)==k$ 的对数（即答案），

g (k)

$g(k)$ 表示

k | gcd (i, j)

$k|\gcd(i,j)$ 的对数根据

g

$g$ 的定义，我们知道阅读全文

posted @ 2021-07-19 19:54 _Famiglistimo 阅读(155) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演入门

摘要：莫比乌斯反演前置知识：容斥整除分块参考：莫比乌斯反演 - pengym - 博客园莫比乌斯函数设正整数

N

$N$ 按照算术基本定理分解质因数为

N = Π_{i = 1}^{m} p_{i}^{c_{i}}

$N=\Pi_{i=1}^m p_i^{c_i}$ ，定义函数： $$ \begin{equation} \mu(N)= \left{ \begin 阅读全文

posted @ 2021-07-18 21:36 _Famiglistimo 阅读(87) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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