算法实验：矩阵连乘(动态规划)

Description
给你2个矩阵A、B，我们使用标准的矩阵相乘定义C=AB如下： A数组中栏（column）的数目一定要等于B数组中列（row）的数目才可以做此2数组的相乘。若我们以rows(A)，columns(A)分别代表A数组中列及栏的数目，要计算C数组共需要的乘法的数目为：rows(A)columns(B)columns(A)。例如：A数组是一个 10x20的矩阵，B数组是个20x15的矩阵，那么要算出C数组需要做101520，也就是3000次乘法。要计算超过2个以上的矩阵相乘就得决定要用怎样的顺序来做。例如：X、Y、Z都是矩阵，要计算XYZ的话可以有2种选择：(XY)Z 或者 X(YZ)。假设X是5x10的数组，Y是10x20的数组，Z是20x35的数组，那个不同的运算顺序所需的乘法数会有不同： (XY)Z • 52010 = 1000次乘法完成(XY)，并得到一5x20的数组。 • 53520 = 3500次乘法得到最后的结果。 • 总共需要的乘法的次数：1000+3500=4500。 X(YZ) • 103520 = 7000次乘法完成(YZ)，并得到一10x35的数组。 • 53510 = 1750次乘法得到最后的结果。 • 总共需要的乘法的次数：7000+1750=8750。很明显的，我们可以知道计算(XY)Z会使用较少次的乘法。这个问题是：给你一些矩阵，你要写一个程序来决定该如何相乘的顺序，使得用到乘法的次数会最少。

Input
含有多组测试数据，每组测试数据的第一列，含有1个整数N（N <= 10）代表有多少个数组要相乘。接下来有N对整数，代表一数组的列数及栏数。这N个数组的顺序与要你相乘的数组顺序是一样的。N=0代表输入结束。请参考Sample Input。

Output
每组测试数据输出一列，内容为矩阵相乘的顺序（以刮号来表示）使得所用的乘法次数最小。如果有不只一组答案，输出任一组均可。请参考Sample Output。

Sample Input
3
1 5
5 20
20 1
3
5 10
10 20
20 35
6
30 35
35 15
15 5
5 10
10 20
20 25
0
Sample Output
Case 1: (A1 x (A2 x A3))
Case 2: ((A1 x A2) x A3)
Case 3: ((A1 x (A2 x A3)) x ((A4 x A5) x A6))

动态转移方程

在这里插入图片描述

利用备忘录方法记录下每次子问题计算出来的答案，最后如果再需要只要查一下子问题的答案即可
mm[i][j]用来表示[i, j]区间内所需的最小乘法次数, xx[i][j]表示对应于mm[i][j]的断开位置。
最后利用xx[i][j]递归输出答案即可

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int M = 15;
int rows[M], columns[M];
int mm[M][M], xx[M][M];
int tot;
int n;
int find_(int l, int r) {
    if (l == r) return mm[l][r] = 0;
    if (mm[l][r] != -1) return mm[l][r];
    int ans = find_(l + 1, r) + rows[l] * columns[r] * columns[r];
    int x = l;
    for (int i = l + 1; i < r; ++i) {
        if (find_(l, i) + find_(i + 1, r) + rows[l] * columns[r] * columns[i] < ans) {
            x = i;
            ans = find_(l, i) + find_(i + 1, r) + rows[l] * columns[r] * columns[i];
        }
    }
    xx[l][r] = x;
    return mm[l][r] = ans;
}
void find__(int l, int r) {
    if (r - l == 0) {
        printf("A%d", l + 1);
        return;
    }
    int temp = xx[l][r];
    if (temp - l == 0)
        find__(l, temp);
    else {
        printf("(");
        find__(l, temp);
        printf(")");
    }
    printf(" x ");
    if (r - (temp + 1) == 0) {
        find__(temp + 1, r);
    }
    else {
        printf("(");
        find__(temp + 1, r);
        printf(")");
    }
}
int main() {
    int cnt = 1;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        tot = 0;
        if (n == 0) break;
        memset(mm, -1, sizeof(mm));
        memset(xx, -1, sizeof(xx));
        for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d%d", &rows[i], &columns[i]);
        find_(0, n - 1);
        printf("Case %d: ", cnt++);
        printf("(");
        find__(0, n - 1);
        printf(")\n");
    }
    return 0;
}