【总结】一类树上点对匹配问题

基本问题

问题描述

给定 $m$ 个集合 $S_1,S_2...S_m$ ，满足任意两个集合 $S_i,S_j$ 不交，令 $n=\sum |S_i|$ ，满足 $n|2$ 。

求一组匹配 $M=\{(x_i,y_i) |x_i\in S_k,y_i\in S_j,k\not = j\}$ 其中 $(x,y)$ 为无序点对，且满足任意 $x$ 仅在一个点对中出现。

即求一组匹配，满足任意一对匹配为不同集合间的匹配。

构造算法

定理：有解的充分必要条件为 $\max(|S_i|)\le \lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$。

必要性显然，考虑证明充分性。

算法步骤

对于充分性的证明，为一个构造算法：

重复执行以下步骤直到所有集合为空：

令 $n'=\dfrac{1}{2}\sum |S_i|$ ，计数器 $t=0$ 。

• 若当前存在集合 $S_i$ ，满足 $|S_i| = n'$ ，在该集合内选取点 $x$ ，集合外选取点 $y$ ，令匹配集合 $M\gets M\bigcup (x,y)$ ，将点 $x$ 点 $y$ 从集合中删除。

• 否则随便选取一对不同集合的点对 $(x,y)$ ，令匹配集合 $M\gets M\bigcup (x,y)$ 。

• $t \gets t+1$ 。

算法证明

引理：$\forall 0\le t\le \dfrac{n}{2}$，满足 $\max(|S_i|)\le n'$。

证明：

对于 $t=0$ 时，引理成立。

若 $t=k$ 时成立，考虑证明 $t=k+1$ 时也成立。

当我们选一对匹配后，$n'\gets n'-1$ ，因为 $t=k$ 时 $\max(|S_i|)\le n'$ 若 $\max(|S_i|)<n'$ ，那么在选择新的一对匹配后，一定有 $\max(|S_i|)\le n'-1$ 。

若 $\max(|S_i|)=n'$ ，因为 $|S_i|=n'$ 的集合至多有两个，所以选择一对新的匹配后一定有 $\max(|S_i|)=n'-1$ 。

故引理成立。

若引理成立，考虑 $n'=2$ 时，一定有 $\max(|S_i|) = 1$ 。

剩下最后一对点匹配即可。

经典问题：无向图加最少边边双连通的下界构造

问题描述

给定无向图 $G=(V,E)$ ，令新图 $G'=(V,E\bigcup E')$ ，图 $G'$ 不存在桥，求满足 $|E'|$ 最小情况下的一组 $E'$ 。

问题转化

令树 $T$ 为无向图 $G=(V,E)$ 进行边双连通分量缩点后的树。

定义非树边边 $(x,y)$ 覆盖树边 $(u,v)$ 当且仅当边 $(u,v)$ 在树上 $x$ 到 $y$ 的最短路上。

那么问题即：添加尽量少的边使得树 $T$ 的每条树边被覆盖至少一次。

令 $cnt$ 为 $T$ 的叶子节点个数，一个经典的结论为 $\lceil \dfrac{cnt}{2} \rceil$ 。

下面，给出一种能够构造出下界的构造策略。

朴素构造策略

考虑钦定根节点 $root$ ，儿子集合 $son$ ，$|son| > 1$ ，考虑 $x,y\in son$ ，$a\in T(x),b\in T(y)$ 。

即 $a,b$ 分别是 $x$ 和 $y$ 子树内的叶子节点。

连边 $(a,b)$ ，使得所有叶子节点至少连一条非树边。

这样是一定能够满足每条树边被覆盖至少一次的（因为每对 $(a,b)$ 满足 $LCA(a,b) = root$ 考虑每个点和父亲之间的边，其一定会被子树内叶子节点的某对匹配覆盖）。

那么问题即选取若干对叶子节点的匹配，使其属于根节点的两棵不同子树。

解决匹配问题

考虑找到一个带权重心 $root$ ，满足对于任意一棵子树内的叶子个数小于等于 $\lfloor \dfrac{cnt}{2} \rfloor$ 。

可以证明带权重心一定存在，证明类似树分治。

$cnt|2$ ，可以转化成上面的基本问题很轻松的达到下界。

对于 $cnt \not| 2$ ,可以拿出一个叶子节点后做 $(cnt-1)$ 规模的问题，然后对于该叶子节点随便连一个点，也可以轻松构造到下界。

扩展练习：P7320 「PMOI-4」可怜的团主

CF468D Tree

题目链接

题目描述

给定一棵树，边带正权，求排列 $p_1,p_2...p_n$ ，满足 $\sum dist(i,p_i)$ 最大。

求出满足 $\sum dist(i,p_i)$ 最大的前提下字典序最小的一组排列。

题解

首先可以将 $n$ 个点拆成 $2\times n$ 个点，那么排列的问题可以转化成这 $2\times n$ 个点的匹配问题。

具体地：令集合 $S=\{1,2,...,n\},T=\{1,2,...n\}$ ，求一组 $S$ 和 $T$ 的最大带权匹配，匹配 $(x,y)$ 的代价为 $dist(x,y)$。

考虑答案的上界，对于边 $(x,y)$ 的贡献至多为 $2\times \min(size[x],size[y])$ 。

考虑构造出上界，同样钦定重心为根。

类似基本问题构造即可。