【题解】CF1499D The Number of Pairs 数论、质因数分解、线性筛
前置问题
有多少有序点对 \((a,b)\) 满足 \(\gcd(a,b) = x,\text{lcm}(a,b) = y\) 。
- \((1,4)\) 与 \((4,1)\) 为两种点对， \((3,3)\) 与 \((3,3)\) 为同一种点对。
从质因数分解的角度：
-
\(\gcd(a,b)=\prod p_i^{\min(a_i,b_i)}\)
-
\(\text{lcm}(a,b)=\prod p_i^{\max(a_i,b_i)}\)
对于其中的一个质因数 ，若 \(a_i\not = b_i\) ，那么有两种方案若 \(a_i=b_i\) 那么有两种方案。
令 \(w\) 为 \(a_i\not = b_i\) 的位置数量，那么一共有 \(2^w\) 对满足条件的 \((a,b)\) 。
令 \(g(x)\) 为 \(x\) 不同的质因数个数 , 那么易知 \(w=g(y / x)\) 。
\(g(x)\) 可以用线性筛在 \(O(n)\) 的时间内计算出来。
复杂度 \(O(n)\) 。
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- \(\text{lcm}(a,b) = r\times \gcd(a,b)\) 。
那么容易得到：
\(\gcd(a,b)=\dfrac{x}{c\times r - d}\)
那么可以知道 \(\gcd(a,b)\) 一定是 \(x\) 的约数，枚举 \(x\) 的约数可以得出若干对合法的 \(\gcd\) 和 \(\text{lcm}\) 转化成上面的问题即可。
复杂度 \(O(n+T\sqrt{n})\)
