【题解】CF1592E Bored Bakry 位运算、前缀和

令 \(\text{and(l,r)}=a_l\&a_{l+1}...\&a_r\) ，\(\text{xor}(l,r)=a_l\text{xor}a_{l+1}...\text{xor}a_r\) 。

令 \(\text{highbit(x)}\) 为 \(x\) 二进制下的最高位。

因为二进制下每一位的异或值取决于 \(1\) 的个数的奇偶性。

考虑 \(r-l+1\) （即区间长度）的奇偶性：

• \(r-l+1\) 是奇数，那么一定有\(\text{xor}(l,r)\ge \text{and(l,r)}\) ，因为与结果的每一位 \(1\) ，异或意义下也一定是 \(1\) 。

• \(r-l+1\) 是偶数，那么 \(\text{xor}(l,r)\) 的第 \(\text{highbit(and(l,r))}\) 一定是 \(0\) 。那么等价于 \([l,r]\) 中的所有数高于 \(\text{highbit(and(l,r))}\) 位的异或和是 \(0\) 。

（对于异或问题可以考虑奇偶性，但适可而止即可，应选用合适的思考角度。）

那么剩下的问题就很好解决了。

考虑 \(O(\log n)\) 的时间内枚举 \(\text{highbit(and(l,r))}\) ，那么每次 \(O(n)\) 做前缀异或和即可，总的时间复杂度为 \(O(n\log n)\) 。