【总结】NOIP 二分图

二分图染色

一个图是二分图等价于染色法合法等价于无奇数环。

一些题目 ：

• P3430 [POI2005]DWU-Double-row

• CF741C Arpa’s overnight party and Mehrdad’s silent entering

• P1155 [NOIP2008 提高组] 双栈排序

• P3497 [POI2010]KOL-Railway （双栈排序加强版）

• CF1444C Team-Building

二分图匹配与点覆盖相关问题

棋盘建模

对于 \(n\times m\) 的棋盘可以进行二分图染色使得对于任一点其相邻点与其异色，对于棋盘上点间连边可以用该条性质证明其是二分图（AcWing 372. 棋盘覆盖）。

对于棋盘上一点 \((x,y)\) 可以看成第 \(x\) 行和第 \(y\) 列间的一条边（P1129 [ZJOI2007] 矩阵游戏，AcWing 373. 車的放置，AcWing 377. 泥泞的区域）。

二分图点覆盖相关问题

二分图最大匹配 = 最小点覆盖 = 总点数 - 最大独立集 = 总点数 - 最小路径点覆盖

有向无环图的最小路径点覆盖

• 不交路径覆盖：建立新图 \(G'\) ，将有向无环图 \(G\) 中的点 \(x\) 拆成点 \(x\) 与点 \(x + n\)，若 \(G\) 存在边 \((x,y)\) 则新图 \(G'\) 中存在边 \((x,y+n)\) ，对新图 \(G'\) 跑最大匹配， n - 最大匹配即为答案。

• 最小路径可重复点覆盖：对图 \(G\) 求传递闭包后，若 \(x\) 可达 \(y\) ，新图 \(G'\) 中存在边 \((x,y+n)\) ，对新图 \(G'\) 跑最大匹配， n - 最大匹配即为答案。