【题解】CF1553E Permutation Shift 置换、循环分解、鸽巢原理
前置问题：
给定两个长度为 \(n\) 的排列 \(\pi_1,\pi_2\) ，每次可以交换排列 \(\pi_1\) 的任意两个元素，最少交换多少次使得，\(\forall i,\pi_1(i)=\pi_2(i)\) 。
考虑置换 ：
\[\left(\begin{array}{l}
\pi_{1}(1), \pi_{1}(2), \pi_{1}(3), ... ,\pi_{1}(n)\\
\pi_{2}(1), \pi_{2}(2), \pi_{2}(3), ...,\pi_{2}(n)
\end{array}\right)
\]
考虑分解出来的环。我们的目标即让该置换的环的数量恰好是 \(n\) 。
考虑交换两个元素对环个数的影响：
-
在同一个环中交换元素会减少一个环。
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在两个不相交的环中交换元素会产生一个更长的环。
-
所需的置换数为 \(n-c\)，其中 \(c\) 是分解中的循环数。
那么回到本题，一个暴力的做法即枚举 \(k\) ，每次 \(O(n)\) \(\text{check}\) 。
优化的方向有两个，一个是改变每次 \(\text{check}\) 的算法，另一种是排除不可能的答案使得 \(\text{check}\) 常数次。
考虑 \(m\le \dfrac{n}{3}\) 的性质。
令 \(cnt_i\) 为排列 \(1,2,3,...n\) “循环移位” \(i\) 位后 \(\pi_1(j)=\pi_2(j)\) 的位置个数。
因为每次至多改变 \(2\times m\) 个位置。
\(k\) 合法的必要条件为 \(cnt_k\ge n - 2\times m \ge \dfrac{n}{3}\)
因为对于每一位使得 \(\pi_1(j)=\pi_2(j)\) 的循环移位位数唯一，所以 \(\sum cnt_i = n\) ，因此合法的 \(k\) 不超过 \(3\) ，每次暴力做就行了。
