【题解】P6071 『MdOI R1』Treequery 区间LCA、主席树、树形结构、分类讨论
题外话：对于树上点 \(u\) 和点 \(v\) 位置关系的分类讨论：
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\(v\) 在 \(u\) 子树内
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\(v\) 在 \(u\) 子树外
- \(v\) 是 \(u\) 的祖先
- \(v\) 不是 \(u\) 的祖先（等价为 \(v\) 在 \(u\) 的祖先伸出来的某棵子树内）
回归到本题，考虑编号在 \([l,r]\) 内的点与点 \(p\) 的关系。
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全部在 \(p\) 的子树内 ： 答案为 \(dist(p,LCA([l,r]))\) ，其中 \(LCA([l,r])\) 表示编号在 \([l,r]\) 内的点的 \(LCA\) 。
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全部在 \(p\) 的子树外
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一部分在 \(p\) 的子树内一部分在 \(p\) 的子树外：答案为 \(0\) 。
考虑对全部在 \(p\) 的子树外的情况继续分类讨论。
我们可以用点集的 LCA 与其他点的关系，很好的描述点集所在子树与其他点的关系。
对于路经 \(p\to x\) ，可以差分成 \(p\to LCA(p,x)\bigcup LCA(p,x)\to x\) 。
因为在 \(p\) 的子树外，所以公共边一定包含 \(p\) 到 \(p\) 的某个祖先之间的路径上的边，考虑是否包含 \(LCA(p,x)\to x\) 这段路经上且与 \(p\to LCA(p,x)\) 路经上的边不交的边。
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全部在 \(p\) 的子树外
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包含 \(LCA(p,x)\to x\) 这段路经上的边：相当于编号 \([l,r]\) 内的点在同一棵 \(p\) 某个祖先伸出去的某棵子树内，那么答案即 \(dist(p,LCA([l,r]))\)。
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不包含 \(LCA(p,x)\to x\) 这段路经上的边：相当于编号 \([l,r]\) 内的点不在同一棵 \(p\) 某个祖先伸出去的某棵子树内，或 \(p\) 的某个祖先编号在 \([l,r]\) 内。
那么考虑不包含 \(LCA(p,x)\to x\) 这段路经上的边应该如何做。
因为一定包含 \(p\) 到 \(p\) 的某个祖先之间的路径上的边且不包含路经 \(LCA(p,x)\to x\) 上的边，因此答案一定为 \(p\) 到 \(p\) 的某个祖先 \(q\) 的距离 \(dist(q,p)\) 。
对于 \(x\in[l,r]\) ，路经 \(p\to x\) 一定包含路经 \(p\to LCA(p,x)\) 间的所有边，我们要考虑的即所有 \(x\in[l,r]\) ，路经 \(p\to LCA(p,x)\) 的交。
令 \(lca'\) 为 \(p\) 与 \([l,r]\) 内的点的深度最深的 \(LCA\) ，答案即 \(dist(p,lca')\) 。
那么接下来要解决的问题即求得 \(p\) 与 \([l,r]\) 内的点的深度最深的 \(LCA\) 。
考虑将 \([l,r]\) 内的所有点与点 \(p\) 按 \(dfn\) 排序，那么深度最深的 \(LCA\) 即 \(p\) 与其前驱后缀的 \(LCA\) 深的较深的一个（直接考虑 \(dfs\) 的顺序即可）。
发现是一个二维数点类状物：令第一维为编号维，第二维为权值（ \(dfn\) ）维。
那么每次查询的是一个权值维前缀的 \(max\) ，后缀的 \(min\) 。
分别扫前后缀建主席树区间询问即可。
