【题解】CF118E Bertown roads 连通性 tarjan DFS树

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我们发现如果图中存在桥，那么代表着两个双连通分量之间有且只有一条路径，那么改成有向图后显然两个连通分量之间的边构不成环。

那么当且仅当无向图是边双连通图时，有解。

接下来考虑在求桥时的 \(\text{tarjan}\) 算法，\(\text{tarjan}\) 算法本质上是在 \(\text{DFS}\) 树上维护一个追溯值：每个点在 \(\text{DFS}\) 树上只走一条返祖边能走到的 \(\text{DFS}\) 序最小的点。

如果图是边双连通图，那么对于任意一个除了根节点以外的点 \(x\) ，一定有 \(dfn[x] \not= low[x]\) 。

并且无向图上，任意一个点的追溯值一定是其祖先。

因此可以推出，每个点一定可以经过若干条返祖边到达根节点。

那么我们可以给 \(\text{DFS}\) 树上的所有非树边都定向为返祖边，所有的树边定向为从父节点到子节点。

总结：

• \(\text{tarjan}\) 算法追溯值的定义与理解。

• 对于无向图对边的定向问题，可以考虑 DFS 树 / tarjan 相关，对非树边 / 树边定向。

• 无向图通过给边定向可以成为强连通图的充分必要条件为该无向图是边双连通图。