【题解】CF983E NN country 贪心 倍增 主席树
*倍增一般解决的问题是找 111100000 最右边的 1 或找 000001111 最右边的 0。
发现题意拍到序列上即给定若干条线段，若干次询问覆盖区间 \([l,r]\) 最少需要多少条线段。
对于序列上的问题，可以通过倍增优化贪心令 \(f[i][j]\) 为从点 \(i\) 做 \(2^j\) 次贪心选择能覆盖到的最远点，在 \(O((n+q) \log n)\) 的时间内解决。
对于树上我们考虑将点 \(u\) 到点 \(v\) 的路径差分成 \(u\to lca\) ,\(lca\to v\) ，每个点维护从点 \(i\) 做 \(2^j\) 次贪心选择能覆盖到深度最浅的祖先。
对于前一段从下到上 \(u\to lca\) 可以直接在倍增表上跳，对于后一段考虑从下往上倍增 check（类似 P7518 [省选联考 2021 A/B 卷] 宝石 从上到下的 \(trick\) ）。
具体地：一种朴素的做法即考虑二分后面一段向上跳的距离，令 \(anc\) 为最终跳上去的点，check 是否存在一种方案使得可以可以覆盖点 \(u\) 到点 \(anc\) ，二分 + 向上跳的复杂度为 \(O(\log^2 n)\) ，但是这个复杂度太弱智了，因此可以直接考虑倍增这样的复杂度为 \(O(\log n)\)。
考虑合并，我们要解决的问题即是否存在一条线段满足一端在以 \(a\) 为根的子树内，另一端在以 \(b\) 为根的子树内，发现是一个二维数点类状物，并且要求在线询问，因此可以直接主席树维护。
这样总的复杂度为 \(O(n\log n + q\log ^2n)\) 。
树上路径覆盖的双射：
总体思想：将路径差分成 \(u\to lca\) ,\(lca\to v\) ,\(lca\) 。
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一条路径，覆盖点 \(x\) 的充要条件为一端在以 \(x\) 为根的子树内 / 一端在以 \(x\) 为根的子树外或 \(x\) 是其 \(\text{LCA}\) ，即：对于路径 \((a,b),a\in T(x)\) 只要 \(\text{LCA(a,b)}\not\in T(x)\) 或 \(\text{LCA(a,b)}=x\) 即可。
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一条路径同时覆盖点 \(x,y\) 若 \(x,y\) 不是祖先关系则当且仅当路径两个端点分别在以 \(x\) 为根的子树中，以 \(y\) 为根的子树中，如果为祖先关系则需要满足一端在深度较深的子树内，一端在 \(pre\) 子树以外。
