【题解】P5024 [NOIP2018 提高组] 保卫王国 虚树、树形DP、倍增、子树合并
*\(T(u)\) 表示以 \(u\) 为根的子树，定义一对祖先与后代的 \(pre(u,v)\) 为 路径 \(u\to v\) 经过的第二个点。
对于一个询问 \((x,y,a,b),a,b\in\{0,1\}\) ，其中 \(dep(x) \ge dep(y)\) 考虑将树 \(T\) 拆成若干个部分：\(T(x),T(y),T-(T(x)\bigcup T(y))\) 。
对于前面两部分的维护比较平凡，考虑如何维护 \(T-(T(x)\bigcup T(y))\) 的答案。
若 \(LCA(x,y)\not =x\) ，那么 \(T-(T(x)\bigcup T(y)) = T - T(x) - T(y)\) ，即 \(x\) 和 \(y\) 的子树补。
考虑处理子树补。
我们发现我们可以很容易的处理一个点的子树补的答案：即形如 \(T-T(u)\) 的答案。
我们考虑维护出每个子树的子树补和每对祖先与后代的 “子树的子树补” 的答案。
具体地：我们将 \(T - T(x) - T(y)\) 拆成 \(T - T(LCA(x,y)) + T(LCA(x,y)) - T(x) - T(y)\) 。
而对于 \(T - T(LCA(x,y))\) 则是其 \(LCA\) 的子树补，而对于 \(T(LCA(x,y)) - T(x) - T(y)\) ，同时维护两个点的子树补我们发现复杂度十分巨大，但是我们可以通过类似 “合并子树” 的操作，合并 \(pre(LCA(x,y),x),pre(LCA(x,y),y)\) 的 “子树的子树补” 来维护出两个子树的子树补。
具体地，我们维护出 \(gh[i][j][0/1][0/1]\) 为点 \(i\) 选 / 不选 \(j\) 选 / 不选覆盖 \(T(j) - T(i)\) 的最小代价，其中 \(j\) 是 \(i\) 的祖先。
而对于 \(LCA(x,y) =x\) 的情况，我们可以将其拆成： \([T(x) - T(y)] + [T - T(x)] + [T(y)]\) ，维护方法也类似。
而对于树上祖先与后代的关系，我们可以考虑通过树上倍增维护虚树上的信息。
即：本质上我们维护的东西是 “从一个点往上按照通用规则 DP 到另一个点的结果”。
考虑令 \(gh[i][j][0/1][0/1]\) 为 \(i\) 选 / 不选 \(anc\) 选 / 不选覆盖 \(T(anc) - T(i)\) 的最小代价，其中 \(anc\) 是点 \(i\) 的 \(2^j\) 级祖先。
这样总的复杂度为 \(O(n\log n)\) 。
