【题解】CF1556F 竞赛图 容斥 状压DP 期望与概率
竞赛图一个有用的性质：竞赛图进行强连通分量缩点之后是链。
首先，考虑一个性质：在竞赛图 \(G=(V,E)\) 中，\(winner\) 集合恰好是 \(S\) 的充分必要条件是 \(S\) 的导出子图是强连通图，且 \(\forall u\in S,T\in V/S\) ，\(\forall u\in S,v\in V/S\) ，存在边一条从 \(u\) 到 \(v\) 的有向边，一种形式化的理解：将 \(winner\) 集合和非 \(winner\) 集合之间的边一定是从 \(winner\) 集合到非 \(winner\) 集合的。
考虑令 \(f[winners]\) 为恰好是 \(winners\) 集合内的人赢的概率，那么答案即 \(\sum_{winners} f[winners]\times |winners|\) 。
并且，对于任意一个不在 \(winners\) 集合内的点 \(x\) 其与 \(winners\) 集合内的点 \(y\) 的边的方向一定是从 \(y\) 指向 \(x\) 。
即 \(\forall u\in winners,v\in V / winners\) ，存在有向边 \((u,v)\) 。
那么接下来的问题即由 \(winners\) 内的点构成的导出子图是强连通图的概率是多少。
令 \(P[S]\) 为由 \(S\) 内的点构成的导出子图是强连通图的概率。
考虑容斥：
即考虑由 \(S\) 构成的导出子图不是强连通图的概率，竞赛图的一个导出子图是强连通图的充分必要条件是其 \(winner\) 集合为点集 \(S\) 。
容斥枚举的 \(T\) 即枚举导出子图 \(S\) 的 \(winner\) 集合。
对于 \(g\) 的计算可以在 \(O(2^n\times n)\) 的时间内处理出 \(h[i][S]\) 表示 \(\prod_{k\in S} \frac{a[i]}{a[k]+a[i]}\) ，那么对于任意一对 \(g\) 都可以在 \(O(n)\) 的时间内处理出来，因此总的时间复杂度为 \(O(3^n\times n)\) 。
