【笔记】容斥相关式子

一般形式

集合并

\[\left|\bigcup_{i=1}^{n} S_{i}\right|=\sum_{T \subseteq\{1,2,3, \ldots, n\}}(-1)^{|T|-1}\left|\bigcap_{j \in T} S_{j}\right| \]

集合交转补集并

\[\left|\bigcap_{i=1}^{n} S_{i}\right|=|U|-\left|\bigcup_{i=1}^{n} \overline{S_{i}}\right| \]

二项式反演（广义容斥）

组合意义：恰好和钦定的转换。

\[f(n)=\sum_{i=n}^{m}\binom{i}{n}g(i) \Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^{m}(-1)^{i-n}\binom{i}{n}f(i) \]

子集反演

一种好用的子集变换： \(U / S \subseteq U / T \Leftrightarrow T\subseteq S\)

形式零：

\[f(S)=\sum_{T \subseteq S} g(T) \Leftrightarrow g(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|S|-|T|} f(T) \]

形式一，类似二项式反演，都是恰好和钦定的转换：

\[ f(S)=\sum_{S\subseteq T} g(T) \Leftrightarrow g(S)=\sum_{S\subseteq T} (-1)^{|T|-|S|} f(T) \]

形式二，集合交：

\[p(S) \& q(S)=\sum_{T \in S}(-1)^{|T|} p(S-T) \neg q(T) \]